爲何int整型(32位)的範圍是-32768到32767？

計算機爲何要用反碼存儲整型

  

這得從二進制的原碼提及：

若是以最高位爲符號位，二進制原碼最大爲0111111111111111=2的15次方減1=32767

最小爲1111111111111111=-2的15次方減1=-32767

此時0有兩種表示方法，即正0和負0：0000000000000000=1000000000000000=0

因此，二進制原碼錶示時，範圍是-32767～-0和0～32767，由於有兩個零的存在，因此不一樣的數值個數一共只有2的16次方減1個，比16位二進制可以提供的2的16次方個編碼少1個。

可是計算機中採用二進制補碼存儲數據，即正數編碼不變，從0000000000000000到0111111111111111依舊錶示0到32767，而負數須要把除符號位之後的部分取反加1，即-32767的補碼爲1000000000000001。

到此，再來看原碼的正0和負0：0000000000000000和1000000000000000，補碼錶示中，前者的補碼仍是0000000000000000，後者通過非符號位取反加1後，一樣變成了0000000000000000，也就是正0和負0在補碼系統中的編碼是同樣的。可是，咱們知道，16位二進制數能夠表示2的16次方個編碼，而在補碼中零的編碼只有一個，也就是補碼中會比原碼多一個編碼出來，這個編碼就是1000000000000000，由於任何一個原碼都不可能在轉成補碼時變成1000000000000000。因此，人爲規定1000000000000000這個補碼編碼爲-32768。

因此，補碼系統中，範圍是-23768～32767。

所以，實際上，二進制的最小數確實是1111111111111111，只是二進制補碼的最小值纔是1000000000000000，而補碼的1111111111111111是二進制值的-1。

 

補碼

原碼、反碼、補碼

     數值在計算機中表示形式爲機器數,計算機只能識別0和1,使用的是二進制,而在平常生活中人們使用的是十進制,"正如亞里士多德早就指出的那樣,今天十進制的普遍採用,只不過咱們絕大多數人生來具備10個手指頭這個解剖學事實的結果.儘管在歷史上手指計數(5,10進制)的實踐要比二或三進制計數出現的晚."(摘自<<數學發展史>>有空你們能夠看看哦~,頗有意思的).爲了能方便的與二進制轉換,就使用了十六進制(2 4)和八進制(23).下面進入正題.

數值有正負之分,計算機就用一個數的最高位存放符號(0爲正,1爲負).這就是機器數的原碼了.假設機器能處理的位數爲8.即字長爲1byte,原碼能表示數值的範圍爲

(-127~-0 +0~127)共256個.

  有了數值的表示方法就能夠對數進行算術運算.可是很快就發現用帶符號位的原碼進行乘除運算時結果正確,而在加減運算的時候就出現了問題,以下: 假設字長爲8bits

( 1 ) 10-  ( 1 )10 =  ( 1 )10 + ( -1 )10 =  ( 0 )10

(00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 顯然不正確.

  由於在兩個整數的加法運算中是沒有問題的,因而就發現問題出如今帶符號位的負數身上,對除符號位外的其他各位逐位取反就產生了反碼.反碼的取值空間和原碼相同且一一對應. 下面是反碼的減法運算:

 ( 1 )10 -  ( 1 ) 10=  ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10=  ( 0 )10

 (00000001) 反+ (11111110)反 =  (11111111)反 =  ( -0 )  有問題.

( 1 )10 -  ( 2)10 =  ( 1 )10 + ( -2 )10 =  ( -1 )10

(00000001) 反+ (11111101)反 =  (11111110)反 =  ( -1 ) 正確

問題出如今(+0)和(-0)上,在人們的計算概念中零是沒有正負之分的.(印度人首先將零做爲標記並放入運算之中,包含有零號的印度數學和十進制計數對人類文明的貢獻極大).

因而就引入了補碼概念. 負數的補碼就是對反碼加一,而正數不變,正數的原碼反碼補碼是同樣的.在補碼中用(-128)代替了(-0),因此補碼的表示範圍爲:

(-128~0~127)共256個.

注意:(-128)沒有相對應的原碼和反碼, (-128) = (10000000)  補碼的加減運算以下:

( 1 ) 10-  ( 1 ) 10=  ( 1 )10 + ( -1 )10 =  ( 0 )10

(00000001)補 + (11111111)補 =  (00000000)補 = ( 0 ) 正確

( 1 ) 10-  ( 2) 10=  ( 1 )10 + ( -2 )10 =  ( -1 )10

(00000001) 補+ (11111110) 補=  (11111111)補 = ( -1 )  正確

   因此補碼的設計目的是:

     ⑴使符號位能與有效值部分一塊兒參加運算,從而簡化運算規則.

⑵使減法運算轉換爲加法運算,進一步簡化計算機中運算器的線路設計

  全部這些轉換都是在計算機的最底層進行的，而在咱們使用的彙編、C等其餘高級語言中使用的都是原碼。看了上面這些你們應該對原碼、反碼、補碼有了新的認識了吧！

有網友對此作了進一步的總結：

本人大體總結一下：

一、在計算機系統中，數值一概用補碼來表示（存儲）。

主要緣由：使用補碼，能夠將符號位和其它位統一處理；同時，減法也可按加法來處理。另外，兩個用補碼錶示的數相加時，若是最高位（符號位）有進位，則進位被捨棄。

二、補碼與原碼的轉換過程幾乎是相同的。

數值的補碼錶示也分兩種狀況：

（1）正數的補碼：與原碼相同。

例如，+9的補碼是00001001。

（2）負數的補碼：符號位爲1，其他位爲該數絕對值的原碼按位取反；而後整個數加1。

例如，-7的補碼：由於是負數，則符號位爲「1」,整個爲10000111；其他7位爲-7的絕對值+7的原碼0000111按位取反爲1111000；再加1，因此-7的補碼是11111001。

已知一個數的補碼，求原碼的操做分兩種狀況：

（1）若是補碼的符號位爲「0」，表示是一個正數，因此補碼就是該數的原碼。

（2）若是補碼的符號位爲「1」，表示是一個負數，求原碼的操做能夠是：符號位爲1，其他各位取反，而後再整個數加1。

例如，已知一個補碼爲11111001，則原碼是10000111（-7）：由於符號位爲「1」，表示是一個負數，因此該位不變，仍爲「1」；其他7位1111001取反後爲0000110；再加1，因此是10000111。

在「閒扯原碼、反碼、補碼」文件中，沒有提到一個很重要的概念「模」。我在這裏稍微介紹一下「模」的概念：

「模」是指一個計量系統的計數範圍。如時鐘等。計算機也能夠當作一個計量機器，它也有一個計量範圍，即都存在一個「模」。例如：

　　時鐘的計量範圍是0～11，模=12。

　　表示n位的計算機計量範圍是0～2(n)-1，模=2（n）。【注：n表示指數】

　　「模」實質上是計量器產生「溢出」的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的餘數。任何有模的計量器，都可化減法爲加法運算。

例如：假設當前時針指向10點，而準確時間是6點，調整時間可有如下兩種撥法：

　　　一種是倒撥4小時，即：10-4=6

　　　另外一種是順撥8小時：10+8=12+6=6

在以12模的系統中，加8和減4效果是同樣的，所以凡是減4運算，均可以用加8來代替。

對「模」而言，8和4互爲補數。實際上以12模的系統中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有這個特性。共同的特色是二者相加等於模。

對於計算機，其概念和方法徹底同樣。n位計算機，設n=8，所能表示的最大數是11111111，若再加1稱爲100000000(9位)，但因只有8位，最高位1天然丟失。又回了00000000，因此8位二進制系統的模爲2(8)。在這樣的系統中減法問題也能夠化成加法問題，只需把減數用相應的補數表示就能夠了。

把補數用到計算機對數的處理上，就是補碼。

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關於算術運算的溢出問題，曾經我也迷茫過，並且不知道爲何整型變量溢出後會是模運算的結果呢，之前還覺得是不能夠預測的，不過弄懂了原碼、補碼的概念後，就發現其實都是有規律可循的，若是你還不太清楚補碼什麼東西，建議先看看隨筆『計算機中的原碼、反碼和補碼』，弄清楚整型數據在計算機中是如何儲存的。

　　在那篇文中，咱們講述了爲何咱們把-1強制成無符號短整型輸出後會獲得65535，在這裏咱們不對它進行類型轉換，咱們只是超出它的範圍看看。

　　仍是定義一個2字節大小的短整型short int n;，學了前面的知識，咱們知道這裏n的範圍是-32768~32767，並且經過前面知識咱們也知道：

　　這裏的-32768在計算機中特殊表示爲10000000 00000000

　　0~32767是00000000 00000000~01111111 11111111

　　-1~-32767是11111111 11111111~10000000 00000001

　　當咱們賦值n=32767，咱們先n+1，超出它的範圍，再輸出n看看，結果是-32768，爲何？咱們來分析一下，32767在內存中是以01111111 11111111儲存的，咱們對這個二進制碼加1運算看看，結果是10000000 00000000，它表示的數是多少，哈哈，這不就是-32768嗎？不甘心，也許是巧合呢，那咱們再加1看看，結果是10000000 00000001，表示的是-32767，再多試幾個也同樣的。哦，原來不是巧合呀，正由於如此，因此咱們就不用這麼繁瑣了，直接進行模運算就能夠了！啊？什麼是模運算？昏……模運算就是除整取餘的運算。

　　下面我把書上的例子再拿出來給你講你就明白了。

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在16位機器上進行下面的操做：//爲何強調16位機器？由於16位機器上的int型的存儲空間是2個字節

int weight=42896;

　　若是你把輸出，在16位機器中將不能獲得42896，而是-22640。由於有符號整數的表示範圍是-32768~32767（共65536個數），因此它只能獲得42896的補碼-22640（42896-65536=-22640）。

　　一個整型類型的變量，用任何一個超過表示範圍的整數初始化，獲得的值爲用該整數範圍做模運算後的值。例如：

int weight=142896;

　　則當weight是2字節整型數時，獲得值爲11824。由於142896