學習JavaScript數據結構與算法 — AVL樹

AVL樹

普通二叉搜索樹可能出現一條分支有多層，而其餘分支卻只有幾層的狀況，如圖1所示，這會致使添加、移除和搜索樹具備性能問題。所以提出了自平衡二叉樹的概念，AVL樹（阿德爾森-維爾斯和蘭迪斯樹）是自平衡二叉樹的一種，AVL樹的任一子節點的左右兩側子樹的高度之差不超過1，因此它也被稱爲高度平衡樹。

圖1

要將不平衡的二叉搜索樹轉換爲平衡的AVL樹須要對樹進行一次或屢次旋轉，旋轉方式分爲左單旋、右單旋、左-右雙旋、右-左雙旋。

左單旋

對某一節點B（圖2）作左單旋，處理過程至關於，斷開B與父節點A的鏈接，將B的右子節點D與A鏈接，將B做爲D的左子節點，將D的左子節點E做爲B的右子節點。以圖1的二叉樹爲例，對鍵值爲15的節點作左單旋，首先斷開15與11的鏈接，再將20與11鏈接，將15做爲20的左子節點，最後將18做爲15的右子節點；能夠想象爲以15爲中心作了必定的逆時針旋轉。結果如圖3。

圖2

圖3

再看圖2，根據搜索二叉樹的性質，確定有D>B>A，E>B，所以旋轉事後，可以保證 右子節點 > 父節點 > 左子節點，不會破壞樹的結構。
能夠看到，一次左單旋將右側子樹的高度減少了1，而左側子樹的高度增長了1。實現代碼以下：

function roateLeft(AvlNode) {
        var node = AvlNode.right; // 保存右子節點
        AvlNode.right = node.left; // node的左子節點鏈接到AvlNode成爲其右子節點
        node.left = AvlNode; // AvlNode鏈接到node成爲其左子節點
        return node; // 返回node，鏈接到AvlNode最初的父節點
}

右單旋

右單旋與左單選相似，以某一節點B（圖4）作右單旋，首先斷開B與其父節點A的鏈接，將B的左子節點C與A鏈接，將C的右子節點F做爲B的左子節點。一樣的，由於有C>A，B>F>C，所以旋轉事後，不會破壞樹的結構。能夠看到，一次右單旋使節點的左側子樹高度減少了1，而右側子樹的高度增長了1。

圖4

實現代碼以下：

function roateRight(AvlNode) {
        var node = AvlNode.left; // 保存左子節點
        AvlNode.left = node.right; // 將node的右子節點鏈接到AvlNode成爲其左子節點
        node.right = AvlNode; // AvlNode鏈接到node，成爲其右子節點
        return node; // 返回node鏈接到AvlNode最初的父節點
}

左-右雙旋

左單旋、右單旋在某些狀況下是不能達到平衡樹的目的的。如圖4，對B進行右單旋，須要左子樹C的右子樹F的高度小於等於左子樹E的高度，不然不能達到平衡的效果，只是把不平衡性從左邊轉移到了右邊。圖5演示了這種狀況。一樣的，左單旋也有這個問題。

圖5

所以爲了達到目的，須要先對旋轉節點的左子節點作左單旋，再對旋轉節點作右單旋。如圖6所示，先對節點B的左子節點C作左單旋，能夠看到，這個操做，至關於將節點C的不平衡性從右側轉移到了左側，從而知足了上述右單旋的條件；最後再對B節點作右單旋操做，最終達到了平衡的目的。

圖6

實現代碼以下：

function roateLeftRight(AvlNode) {
        AvlNode.right = roateLeft(AvlNode.right); // 對右子節點作左單旋
        return roateRight(AvlNode); // 作右單旋
}

右-左雙旋

同理，如圖2，對B進行左單旋時，須要右子樹D的右子樹F的高度大於等於左子樹E的高度，不然須要進行雙旋；即先對B的右子節點D作右單旋，再對B作左單旋。實現代碼以下：

function roateRightLeft(AvlNode) {
        AvlNode.left = roateRight(AvlNode.left); // 對左子節點作右單旋
        return roateLeft(AvlNode); // 作左單旋
}

實現樹的平衡

首先實現獲取樹高度的函數：

function getAvlTreeHeight(node) {
        if (node == null) {
            // node不存在返回0
            return 0;
        } else {
            var leftHeight = getAvlTreeHeight(node.left);
            var rightHeight = getAvlTreeHeight(node.right);
            // 返回左子樹、右子樹中的最大高度
            return (leftHeight > rightHeight ? leftHeight : rightHeight) + 1;
        }
}

實現平衡樹的函數：

function balance(node) {
    if (node == null) {
        return node;
    }
    // 左子樹高度比右子樹高度大1以上
    if (getAvlTreeHeight(node.left) - getAvlTreeHeight(node.right) > 1) {
        if (getAvlTreeHeight(node.left.left) >= getAvlTreeHeight(node.left.right)) {
            // 若是左子樹的左子樹高度大於等於左子樹的右子樹高度
            // 直接進行右單旋
            node = roateRight(node);
        } else {
            // 不然須要右-左雙旋
            node = roateRightLeft(node);
        }
        // 右子樹高度比左子樹高度大1以上
    } else if (getAvlTreeHeight(node.right) - getAvlTreeHeight(node.left) > 1) {
        if (getAvlTreeHeight(node.right.right) >= getAvlTreeHeight(node.right.left)) {
            // 若是右子樹的右子樹高度大於等於右子樹的左子樹高度
            // 直接進行左單旋
            node = roateLeft(node);
        } else {
            // 不然須要左-右雙旋
            node = roateLeftRight(node);
        }
    }
    return node;
}

在二叉搜索樹的基礎上，每次插入節點，都須要作一次樹的平衡處理：

var insertNode = function(node, newNode){
    if (newNode.key < node.key){
        if (node.left === null){
            node.left = newNode;
            // 插入節點後，作樹的平衡處理
            node.left = balance(node.left);
        } else {
            insertNode(node.left, newNode);
        }
    } else {
        if (node.right === null){
            node.right = newNode;
            // 插入節點後，作樹的平衡處理
            node.right = balance(node.right);
        } else {
            insertNode(node.right, newNode);
        }
    }
}

綜上，一顆自平衡AVL樹的原理及實現就完成了。