【數據結構】線段樹

這幾天上網課學了不少東西，如今整理一下

線段樹

有一位老師說線段樹和樹狀數組沒有什麼區別，讓咱們只學一個就行
我仍是都學了
如今來整理一下線段樹

進入正題：

在我這個線段樹萌新的眼中，它就是用來求前綴和和統計的ㄟ( ▔, ▔ )ㄏ

爲何叫作線段樹：

大概就是它長得很像樹，而後它也是個樹吧~~
至少它都有滿二叉樹的特色：

• 每一個節點有一個序號 k

• 除了葉節點其餘節點都有左孩子和右孩子

• k 節點左孩子的序號爲 k * 2

• k 節點右孩子的序號爲 k * 2 + 1

但線段樹也有不同凡響的特色：

• 存儲的是一個區間的信息（如區間和）

• 大部分操做都是用二分的思想

便於記憶，能夠直接把線段樹看做是一個存儲着區間信息的滿二叉樹

一些記憶：

之前沒有學過線段樹到時候，我常常把一個數組分紅兩部分，而後把每一段再分，一直到分紅元素不能再分爲止，我還常常想爲何不能這樣求前綴和，否則太不方便了，結果學了線段樹後發現被打臉了……

或許我早生個幾十年……≖‿≖✧

線段樹就是這樣的：

把一個線性數組平均分紅兩半，而後把每一段繼續分紅兩段，一直到只剩一個元素不能再分爲止

畫個圖：

而後把它們當作樹給編個號：

簡化一下：

如今應該就能看出來了：線段樹本質實際上是一個滿二叉樹
除了葉節點，每一個節點存儲着一個區間的信息
而葉節點存儲單個元素的信息

程序實現：

思路：

1. 用遞歸分別存儲一個節點的左孩子和右孩子

2. 在存儲的同時求和

建樹代碼：（我是從一位dalao的博客裏學的)

void build_tree(int l, int r, int k) {  // l 存儲這個區間的左端點，r 存儲這個區間的右端點，k 存儲這個區間的序號
	e[k].l = l;
	e[k].r = r;                     // 用結構體存儲一個節點的信息
	if (l == r) {                   // 若是遞歸到一個葉節點
	      e[k].sum = cun[l];        // 存下這個節點的和
		return;                 // dalao說過這句別忘了加，否則會死循環
	}
	int mid = (l + r) / 2;          // 二分思想
	build_tree(l, mid, k*2);        // 遞歸左孩子
	build_tree(mid + 1, r, k*2 + 1);// 遞歸右孩子
	e[k].sum = e[k*2].sum + e[k*2 + 1].sum; // 求和
}

一些線段樹的基本操做：

首先，先引入一個頗有用的東西：延遲標記（也叫懶標記）

先舉個栗子 (｡･ω･)ﾉﾞ：

有一組數：存爲 a 數組，如今我要把 a[3] 到 a[7] 中間的全部數都加上 4（包括 a[3] 和 a[7]），最後輸出 a[3] 到 a[7] 的區間和。

用線段樹的作法怎麼作？（光想思路，不用代碼實現）

暴力作法：

用線段樹將 a[3] 到 a[7] 的每個點都加上 4，而後再從新求有 a[3] 到 a[7] 的全部區間的和。

有這種思路是正常的，特別是我這種蒟蒻，但這種方法實在是太暴力了，若是作題容易 TLE，由於數據一大這種方法就跟用線段樹枚舉沒有什麼區別，甚至可能比枚舉的耗時還要長……

這個時候就是 超級飛俠 延遲標記發揮做用的時候了

延遲標記優化作法：

在存儲樹節點的結構體裏再開一個變量 book
而後遞歸找到（下面會說作法） a[3] 到 a[7] 的區間並直接加上 4，並將 4 存儲到那個區間的 book 裏並把這個區間的 book 清零，下一步就是：

無論了

沒錯，就是無論了，反正我要求輸出的是 a[3] 到 a[7] 的區間和，又沒要求輸出 a[3] 的值或者什麼的。

那可能會有人想：
若是又要求輸出 a[3] 之類的東西呢？

那這個時候就是延遲標記名字中「延遲」的由來：

若是又要求輸出 a[3]，那麼能夠再一次遞歸找 a[3]，而後等找到 a[3] 到 a[7] 的左孩子或者右孩子的時候，因爲 book 不爲零，那麼將這段區間的 sum 加上 book 中的值並把 book 繼續下傳而後清零。

畫個流程：

最後到達目標區間後記得 return 結束遞歸哦~~

流程大概就是這樣，如今來解釋一下：

能夠這樣理解：假如你的假期做業還沒作（好比我），其中有要求交的，也有沒讓交的（老師不檢查），那你會選擇都作完仍是隻作要求教的？

反正我選二 (☆ﾟ∀ﾟ)

可是你如今不知道哪些做業要交，哪些做業不用交，只有課表明開始收做業的時候你才知道，那你是否是會趕忙補那個須要交的做業（爭分奪秒）？

反正我會這樣 (☆ﾟ∀ﾟ)

延遲標記就能夠這樣理解：若是須要這個節點的信息，那麼延遲標記就趕忙把這個節點的信息給更新了，而後 光（開）榮（心）退（離）休（場）~~

就像瘋狂補完該交的做業並交上去而後鬆了一口氣的我同樣(｡・`ω´･)

代碼實現：

void sign(int k){
	e[k*2].book += e[k].book;           // 將父節點的延遲標記累加到左孩子中
	e[k*2 + 1].book += e[k].book;       // 將父節點的延遲標記累加到右孩子中
	e[k*2].sum += e[k].book * (e[k*2].r - e[k*2].l + 1); // 更新左孩子總和
	e[k*2 + 1].sum += e[k].book * (e[k*2 + 1].r - e[k*2 + 1].l + 1); // 更新右孩子總和
	e[k].book = 0;                      // 延遲標記清零
}

大約就是這個亞子

而後各操做代碼：

• 單點查詢：

void ask_point(int k) {
    if (e[k].l == e[k].r) { // 若是查詢到目標節點
        ans = e[k].sum;     // 記錄下該節點的值
        return ;
    }
    if (e[k].book) sign(k); // 若是這個節點的 book 值不爲零，動用延遲標記
    int mid = (e[k].l + e[k].r) / 2; // 二分思想
    if (x <= mid) ask_point(k*2); // 若是目標節點在左區間，則遞歸左孩子
    else ask_point(k*2 + 1);// 不然遞歸右孩子
}

• 單點修改：

void change_point(int k) {
    if (e[k].l == e[k].r) {  // 若是遞歸到目標節點
        e[k].sum += y;      // 改變該節點的值
        return;
    }
    if (e[k].book) sign(k); // 若是這個節點的 book 值不爲零，動用延遲標記
    int mid = (e[k].l + e[k].r) / 2; // 二分思想
    if (x <= mid) change_point(k*2); // 若是目標節點在左區間，則遞歸左孩子
    else change_point(k*2 + 1); // 不然遞歸右孩子
    e[k].sum = e[k*2].sum + e[k*2 + 1].sum; // 從新求和
}

• 區間查詢：

void ask_line(int k) {
    if (e[k].l >= a && e[k].r <= b) {   // 若是遞歸的該區間爲目標區間的一部分
        ans += e[k].sum;                // 累加區間和
        return;
    }
    if (e[k].book) sign(k);
    int mid = (e[k].l + e[k].r) / 2;
    if (a <= mid) ask_line(k*2);
    if (b > mid) ask_line(k*2 + 1);
}

• 區間修改：

void change_line(int k) {
    if (e[k].l >= a && e[k].r <= b) {
        e[k].sum += y * (e[k].r - e[k].l + 1);
        e[k].book += y;
        return;
    }
    if (e[k].book) sign(k);
    int mid = (e[k].l + e[k].r) / 2;
    if (a <= mid) change_line(k*2);
    if (b > mid) change_line(k*2 + 1);
    e[k].sum = e[k*2].sum + e[k*2 + 1].sum;
}

最後再次膜拜dalao

markdown真好玩
我去我居然寫了一天