[CSP校內集訓]race（位運算？）

題意

有\(n\)我的，每一個人有一個能力值\(a_i\)（\(a\)互不相同），有\(2^m\)場比賽\([0,2^m)\)，每場比賽一我的的得分爲\(a_i \oplus j\)，按照得分排序（得分每輪比賽清零），每一個人得到排名\(^2\)的積分（注意排名從0開始算），求每一個人的積分\(q\% (10^9+7)\)後的異或和，\((n\leq 200000,m\leq 30)\)

思路

考場上的解法，並不是最優解法qwq

因爲有取模操做，只能一個我的的處理，且能夠看出是要一位位處理問題的

假設當前處理到第i我的，設\(k_j\)爲能力值在二進制下更高位與i同樣，第j位不一樣的人數，（由這個定義可知\(\sum{k_j}=n-1\)，即除i外的每一個人會且僅會被統計一次）

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暫時無論\(k\)怎麼求，能夠發現兩個數之間的大小關係僅由從高向低第一個不一樣的位（即上面\(k\)的定義），對於一個\(j\)，若是第\(j\)位和第\(i\)我的同樣，那麼他就比不過那\(k_j\)我的，即排名\(+k_j\)，不然排名不會增長；而第\(j\)位是0或1的機率相等，因此第\(i\)我的取或不取\(k_j\)的機率相同，那麼第\(i\)我的的積分爲\(0 + k_1^2 + k_2^2 +....+k_m^2 + (k_1+k_2)^2 + (k_1+k_2)^2 + .......(k_1+k_2+...+k_m)^2\)（就像搜索m個數選或不選同樣）

好像寫複雜度了？無論無論

這個式子能夠化簡，而我比較懶（cai），並無化簡完...

\[q=\sum_{i=1}^{m} { k_i (2^{m-1}k_i + \frac{\sum_{j=1}^{m-1}{C_{m-1}^j \times j}}{m-i} \times(n-1-k_i)) }\]

預處理一些東西以後這個式子能夠\(O(m)\)求

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扯了那麼多，到底怎麼求\(k\)啊

其實求\(k\)很簡單，個人方法是對\(a_i\)排個序以後從高位到低位模擬便可，由於須要二分因此圖方便用了個\(lb\)，具體見代碼

時間複雜度\(O(nlog^2n)\)，複雜度瓶頸爲求\(k\)，理論上能夠過，實際上我自測的時候忘記關編譯選項裏面的\(O2\)了，結果跑了個0.6s還覺得隨便過。。。

成功被卡常到2.9s（STL常數好大qwq），把\(lb\)換成手寫二分便可0.5s過此題，和std速度差很少？？？

正解是\(O(nlogn)\)的trie，懶得打，看起來又是套路2333

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define N 200005
#define re register
#define Min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define Max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 1000000007;
int n,m; ll a[N];
ll k[35],ans=0;
ll C[35][35],sum,po;

template <class T>
void read(T &x)
{
    char c; int sign=1;
    while((c=getchar())>'9'||c<'0') if(c=='-') sign=-1; x=c-48;
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+c-48; x*=sign;
}
ll quickpow(ll a,ll b)
{
    ll ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ret=ret*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1; 
    }
    return ret;
}

void init()//預處理一堆亂七八糟的東西 
{
    C[0][0]=C[1][0]=C[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=30;++i)
    {
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;++j) C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
    }
    for(int i=1;i<m;++i) sum=(sum+C[m-1][i]*i%mod)%mod;
    sum=sum*quickpow(m-1,mod-2)%mod;
    po=quickpow(2,m-1);
}
int find(int x)
{
    re int l=1,r=n,ret=n+1;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(a[mid]>=x) ret=mid,r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    return ret;
}
void getk(int x)//求與x的每一位不一樣的數個數：要求sigma(ki)=n-1
{
    ll now=0;//前面相等的位都 >=now 
    for(re int i=m-1;i>=0;--i)//求ki 
    {
        if(x>>i&1)//這一位不一樣:[ now,now+(1<<i) )
        {
            int r=find(now+(1<<i))-1;//右邊第一個 
            int l=find(now);//左邊第一個 
            k[i]=(r-l+1);
            now+=(1<<i);
        }
        else//這一位不一樣:[ now+(1<<i),now+(1<<(i+1)) )
        {
            int r=find(now+(1<<(i+1)))-1;
            int l=find(now+(1<<i));
            k[i]=(r-l+1);
        }
    }
}
int main()
{   
    freopen("race.in","r",stdin);
    freopen("race.out","w",stdout);
    read(n);read(m);
    for(int i=1;i<=n;++i) read(a[i]);
    sort(a+1,a+n+1);
    init();
    for(re int i=1;i<=n;++i)
    {
        getk(a[i]);
        ll pts=0;
        for(re int j=0;j<m;++j) pts=(pts+k[j]*((po*k[j]%mod + sum*(n-1-k[j])%mod)%mod)%mod)%mod;
        pts=(pts%mod+mod)%mod;
        ans^=pts;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}