最短路綜合

時間 2019-11-11

標籤短路綜合简体版

原文原文鏈接

最短路綜合

前言：

　　　最短路擴展例題。html

例題：

　　奇怪建圖的最短路：

　　POJ3767node

　　在一個國家有兩個group，記作1和2，N個city，每一個city屬於1或者2。每兩個city間有必定的距離，如今要從city1去city2，問最短的距離是多少，要求至多隻有一次穿越時跨過度屬不一樣group的city。city1老是屬於group1，city2總屬於group2。c++

　　分析：同一城市內建雙向邊，city1到city2建單向邊，注意無解。spa

　　特殊最短路計數：

　　洛谷P2505code

　　有向圖，求每條邊被多少條最短路通過htm

　　分析：定理：任意一條最短路的某個子路徑都是最短路（懶得證，腦補吧）blog

　　枚舉起點，先跑一遍dj（珍愛生命，遠離spfa），把全部屬於最短路的邊標記，造成最短路圖，一定是有向無環圖。排序

　　考慮到每一條邊的貢獻爲兩端端點的最短路條數相乘；ci

　　拓撲排序，先求cnt1[ i ]表示從起點到 i 節點的最短路條數，易得若是cnt1[ st ]=1且存在邊從u到v 那麼cnt1[ v ] += cnt1[ u ]；get

　　再求從cnt2[ i ]表示以 i 爲起點的最短路條數，cnt2[ i ]初始值爲1，若存在邊從u到v，則cnt2[ u ]+=cnt2[ v ]；

　　每條邊每次貢獻爲cnt1[ u ] * cnt2[ v ]；

　　POJ3613

　　給定一張帶權圖，求從s到t的剛好通過k條邊的最短路徑長度

　　分析：用一個矩陣表示初始通過一條邊a_ij的長度，沒有邊是正無窮

　　矩陣乘法：a矩陣表示通過n條邊，b矩陣表示通過m條邊，a*b矩陣則表示通過n+m條邊，採用了floyd的思想

　　矩陣快速冪便可

　　證實：不會，可是會甩連接《矩陣乘法在信息學的應用》

　　拓展：求s到t長度爲k的方案數：

　　矩陣a [ d ][ i ][ j ]爲從i到j長度爲d的方案數；

　　分層圖最短路：

　　有一種圖論模型：在圖上能夠進行k次特殊決策，每次決策不改變圖的結構，只改變當前狀態，咱們稱之爲分層圖最短路。

　　洛谷P4568

　　有k次免費機會的最短路

　　分析：咱們在存儲每個狀態時多存儲一個變量f表示當前已經使用了幾回免費機會，dis[ i ][ j ]表示到 i 節點用了 j 次機會的最短路長度；

　　每次決策分兩部分：

　　第一部分：不使用機會，直接莽過去；

　　第二部分：使用機會，用特殊代價轉移狀態；

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; #define int long long inline int read() { int x=0,f=1; char ch; for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar()); if(ch=='-') f=0,ch=getchar(); while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();} return f?x:-x; } int n,m,k,res=1e15; int st,ed; int dis[100010][21]; bool vis[10010][21]; int head[100010],cnt; struct point { int nxt,to,val; }a[100010]; struct p { int now,fre,dis; bool operator <(const p &a) const { return dis>a.dis; } }; priority_queue<p> q; inline void add(int x,int y,int z) { a[++cnt].nxt=head[x]; a[cnt].to=y; a[cnt].val=z; head[x]=cnt; } inline void dj() { memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); dis[st][0]=0; q.push((p){st,0,0}); while(!q.empty()) { int now=q.top().now; int f=q.top().fre; q.pop(); if(vis[now][f]) continue; vis[now][f]=1; for(int i=head[now];i;i=a[i].nxt) { int t=a[i].to; if(f<k&&dis[t][f+1]>dis[now][f]) { dis[t][f+1]=dis[now][f]; if(t==ed)    res=min(res,dis[t][f+1]); q.push((p){t,f+1,dis[t][f+1]}); } if(dis[t][f]>dis[now][f]+a[i].val) { dis[t][f]=dis[now][f]+a[i].val; if(t==ed) res=min(res,dis[t][f]); q.push((p){t,f,dis[t][f]}); } } } } signed main() { n=read(),m=read(),k=read(); st=read(),ed=read(); for(int x,y,z,i=1;i<=m;++i) { x=read(),y=read(),z=read(); add(x,y,z); add(y,x,z); } dj(); printf("%lld\n",res); return 0; }

　　洛谷P3831

　　一個網格圖，走一條邊花費爲2，在某些點轉向花費爲1，求最短路；

　　分析狀態：位置，方向。與其餘最短路不一樣的就是方向。

　　考慮到往回走確定不優，因此咱們只須要記錄是橫向仍是縱向便可。

　　考慮到n較大，咱們只記錄有用的節點（轉向點和起點終點），將全部有用點記錄在結構體中，設每一個點的編號爲（x-1）*n+y；

　　1.按編號排序，離散化；

　　2.按x排序，x相等按y排序，把x相等的相鄰兩個點之間連上邊；

　　3.按y排序，y相等按x排序，把y相等的相鄰兩個點之間連上邊；

　　跑dj（珍愛生命，遠離spfa）

　　（數據太水沒有沒法到達的狀況，實際上注意判斷，雖然我沒判就過了）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; #define int long long inline int read() { int x=0,f=1; char ch; for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar()); if(ch=='-') f=0,ch=getchar(); while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();} return f?x:-x; } int n,m,res=1e18; int stx,sty,edx,edy,tot,st,ed; int dis[200010][3]; bool vis[200010][3]; int head[233333],cnt; struct node { int x,y,id; }sub[200010]; struct p { int dis,ch,now; bool operator<(const p &a) const { return dis>a.dis; } }; priority_queue<p> q; struct point { int nxt,to,val; int ch; }a[500010]; inline void add(int x,int y,int z,int ch) { a[++cnt].nxt=head[x]; a[cnt].to=y; a[cnt].val=z; a[cnt].ch=ch; head[x]=cnt; } inline bool cmp(node a,node b) { return a.id<b.id; } inline bool cmp1(node a,node b) { return (a.x==b.x)?a.y<b.y:a.x<b.x; } inline bool cmp2(node a,node b) { return (a.y==b.y)?a.x<b.x:a.y<b.y; } inline void dj() { memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); for(int i=1;i<=2;++i) { dis[st][i]=0; q.push((p){0,i,st}); } while(!q.empty()) { int now=q.top().now; int ch=q.top().ch; q.pop(); if(vis[now][ch]) continue; vis[now][ch]=1; for(int i=head[now];i;i=a[i].nxt) { int t=a[i].to; int f=a[i].ch; if(dis[t][f]>dis[now][ch]+a[i].val+(f!=ch)) { dis[t][f]=dis[now][ch]+a[i].val+(f!=ch); if(t==ed) res=min(res,dis[t][f]); q.push((p){dis[t][f],f,t}); } } } } signed main() { n=read(),m=read(); for(int x,y,i=1;i<=m;++i) { x=read(),y=read(); sub[++tot].x=x; sub[tot].y=y; sub[tot].id=(x-1)*n+y; } stx=read(),sty=read(),edx=read(),edy=read(); sub[++tot].x=stx; sub[tot].y=sty; sub[tot].id=(stx-1)*n+sty; sub[++tot].x=edx; sub[tot].y=edy; sub[tot].id=(edx-1)*n+edy; sort(sub+1,sub+tot+1,cmp); for(int i=1;i<=tot;++i) { if(sub[i].id==(stx-1)*n+sty) { sub[i].id=i,st=i; } else if(sub[i].id==(edx-1)*n+edy) { sub[i].id=i,ed=i; } else sub[i].id=i; } sort(sub+1,sub+tot+1,cmp1); for(int i=1;i<=tot;++i) { if(sub[i-1].x==sub[i].x) { add(sub[i].id,sub[i-1].id,(sub[i].y-sub[i-1].y)*2,1); add(sub[i-1].id,sub[i].id,(sub[i].y-sub[i-1].y)*2,1); } } sort(sub+1,sub+tot+1,cmp2); for(int i=1;i<=tot;++i) { if(sub[i-1].y==sub[i].y) { add(sub[i].id,sub[i-1].id,(sub[i].x-sub[i-1].x)*2,2); add(sub[i-1].id,sub[i].id,(sub[i].x-sub[i-1].x)*2,2); } } dj(); //-1
    printf("%lld\n",res); return 0; }

　　次短路

　　洛谷P2865

　　求嚴格次短路。

　　方法1：dis[ i ][ 1 ]爲到 i 節點最短路值，dis [ i ][ 2 ]爲到 i 節點次短路值；

　　這個用spfa，dj我每研究出按什麼排序比較好

inline void spfa() { for(int i=1;i<=n;++i) dis[i][1]=dis[i][2]=1e15; dis[1][1]=0; q.push(1); while(!q.empty()) { int now=q.front(); q.pop(); vis[now]=0; for(int i=head[now];i;i=a[i].nxt) { int t=a[i].to; bool flag=0; if(dis[t][1]>dis[now][1]+a[i].val) { dis[t][2]=dis[t][1]; dis[t][1]=dis[now][1]+a[i].val; flag=1; } if(dis[t][2]>dis[now][1]+a[i].val&&dis[t][1]!=dis[now][1]+a[i].val) { dis[t][2]=dis[now][1]+a[i].val,flag=1; } if(dis[t][2]>dis[now][2]+a[i].val) { dis[t][2]=dis[now][2]+a[i].val; flag=1; } if(flag&&!vis[t]) { vis[t]=1; q.push(t); } } } }