一道動態規劃算法題

Maximum Energy

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Description:

Bob wanted to increase his energy by eating AC-APPLEs. There are N(1 <= N <= 150,000) AC-APPLEs, each AC-APPLE had a magic value "v" which is a positive interger and not bigger than 500. Bob visited AC-APPLEs which are given in order, every time he faced an AC-APPLE, he can choose "eat this one" or "pass this one". The odd time Bob ate, he increase v units energy. The even time Bob ate, he decrease v units energy. Before eating any AC-APPLE, Bob's enerny is 0. Please calculate the Maximum Energy Bob can increase by eating AC-APPLEs.

 

Input:

The input will consist of more than one data set. Each data set has two lines. First line has an interger N. Second line has N intergers which means the magic value of each AC-APPLEs.

 

Output:

the Maximum Energy Bob can increase

 

Sample Input:

8

7 2 1 8 4 3 5 6

 

Sample Output:

17

 

問題是這樣的，以7 2 1 8 4 3 5 6爲例，若是選擇+7，則下一個數字則是-，好比+7,-2。你也能夠選擇跳過，好比+7,-1，這樣就跳過2。總之加以後一定是減，加減交錯。或者選擇跳過。最後讓你求通過這樣的運算，一串數最終能獲得的最大值。

 

本例中，最大值17是這麼算出來的：7-1+8-3+6=17，中間跳過了2，4和5。這道題若是用窮舉法來作天然能夠，算法效率爲O(2^N)，由於每一個數字上的選擇只有2種：

1) 加/減

2) 跳過

而後在全部2^N個結果中選擇最大值便可。

 

可是N的最大值是150000，這種狀況下，O(2^N)的效率顯然沒法接受。這道題能夠分解成好幾個子問題，因而咱們能夠用動態規劃算法來實現算法性能的改進，使算法效率壓縮到O(N)。

 

咱們知道，當計算到最後一個數6時，對其採起加/減或是跳過，徹底取決於對7 2 1 8 4 3 5子序列的計算結果。

仔細概括一下，不外乎4種狀況：

1）若是前面的5是加的話，6天然是減

2）若是前面的5是減的話，後面的6天然是加

3）若是前面的5是跳過的話，那就直到找到從5開始往左數，第一個不跳過的數，好比是8（假如4，3，5都跳過）

a)若是8是加，則6減，相似狀況1)

b)若是8是減，則6加，相似狀況2)

 

而對於1)和3a)來講，對6的處理是同樣的，惟一不一樣的是計算到5和計算到8時的最大值是不同的。因此咱們只須要找到2者中的最大值進行處理，這樣1)和3)這兩種狀況能夠歸併爲一種。同理，2),3b)也歸併爲一種。

 

仍是以7 2 1 8 4 3 5 6爲例，咱們能夠基於剛纔的算法給出以下表：

其中add[index=1]=0，表示下一次0將加上2，或者跳過2；sub[index=1]=7，表示下一次，7將減去2或者跳過2。

 

當遍歷到2時，咱們羅列出如下4種狀況：

1) 7 – 2 = 5 (後面是add)

2) 7 跳過 2 = 7 (後面繼續是sub)

3) 0 + 2 = 2 (後面是sub)

4) 0 跳過2 = 0 (後面繼續是add)

 

1)和4)後面都是+，而1)的當前值是5，4)倒是0，這裏咱們要捨棄4)，選擇方案1)。同理，對於2)和3)，後面都是-，而2)的當前值是7，大於3)的當前值2，因此捨棄方案3)。保留下來的是1)和2)，因而表變成了：

若是把行「+」用add[]存儲，把行「-」用sub[]存儲，7 2 1 8 …… 表示爲NUM[]，咱們能夠將其公式化爲：

add[i] = max(sub[i-1]-NUM[i], add[i-1])                i)

sub[i] = max(sub[i-1], add[i-1]+NUM[i])                             ii)

 

有了公式i)和ii)，咱們就能夠將後面的表格填寫徹底，最終的表格爲：

由於add[i] > add[i-1]，且sub[i] > sub[i-1]，因此最後的最大值必定是add[N]和sub[N]中的一個。因此max(11,17) = 17。