雜篇：Android繪製函數圖象及正弦函數的介紹

零、前言

這篇是爲了下一篇作點鋪墊，也是來複習一些數學基礎
本篇屬於休閒娛樂，不要太較真，小科普一下，不喜勿噴
本文知識點前4點你能夠隨便看看，但第5點很是重要,本文源碼見捷文規範

本文知識點：
1)數學函數的概念
2)直角座標系的下函數圖形
3)極座標下的函數圖象
4)參數方程下的函數圖形
5)正弦函數的詳細分析(爲下一篇文章作鋪墊)

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1、數學函數的概念：

1.高中數學必修1：

設A,B爲非空的數集，若是按照某種肯定的對應關係f,  
使對於集合A中的任意的任意一個數x,在集合B中都有惟一肯定的數f(x)和它對應，
那麼就稱"f:A→B"爲從集合A到集合B的一個函數，記做：
y=f(x),x∈A

其中，x叫作自變量，x的取值範圍叫作函數的[定義域]
與x的值對應的y值叫作函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫作函數的[值域]
複製代碼

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2.大學高等數學

設數集D⊂ R,則稱映射f:D→R爲定義在D上的函數，一般簡記爲
y=f(x),x∈ D

其中x稱自變量，y稱因變量，D稱定義域，記做Df,即Df=D.
值域：Rf=f(D)={y|y=f(x),x∈ D}
複製代碼

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3.映射：

設X,Y是兩個非集合，若是存在一個法則f，使的對X中的每一個元素x,
按法則f,在Y中有惟一肯定的元素y與之對應，則稱f爲X到Y的映射，記做
f:X→Y

其中y稱爲元素x(在映射f下)的像，並記做f(x),即y=f(x)
而元素x稱爲元素y(在映射f下)的原像
複製代碼

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2、直角座標系的下函數圖形

這裏只是模擬函數，而後繪製出可視的圖象
數學中的實數是連續的，這裏在屏幕中將像素做爲基本的單元
繪圖核心：點集成線，單點半徑1px
自變量：x
定義域：Df用集合Set表示
函數關係：函數f(x)
點集用Map表示，x→y

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0.網格與座標系的繪製

網格和座標系我已經封裝，初始View以下：

public class MathView extends View {
    private Point mCoo = new Point(500, 700);//座標系
    private Picture mCooPicture;//座標系canvas元件
    private Picture mGridPicture;//網格canvas元件
    private Paint mHelpPint;//輔助畫筆
    private Paint mPaint;//主畫筆
    private Path mPath;//主路徑
    public MathView(Context context) {
        this(context, null);
    }

    public MathView(Context context, @Nullable AttributeSet attrs) {
        super(context, attrs);
        init();//初始化
    }

    private void init() {
        //初始化主畫筆
        mPaint = new Paint(Paint.ANTI_ALIAS_FLAG);
        mPaint.setColor(Color.BLUE);
        mPaint.setStrokeWidth(2);
        mPaint.setStyle(Paint.Style.STROKE);
        mPaint.setStrokeCap(Paint.Cap.ROUND);
        //初始化主路徑
        mPath = new Path();

        //初始化輔助
        mHelpPint = HelpDraw.getHelpPint(Color.RED);
        mCooPicture = HelpDraw.getCoo(getContext(), mCoo);
        mGridPicture = HelpDraw.getGrid(getContext());
    }
    @Override
    protected void onDraw(Canvas canvas) {
        super.onDraw(canvas);
        HelpDraw.draw(canvas, mGridPicture, mCooPicture);
        canvas.save();
        canvas.translate(mCoo.x, mCoo.y);
        canvas.scale(1, -1);//y軸向上
        canvas.restore();
    }

複製代碼

具體細節這裏不說了，詳見：Android關於Canvas你所知道的和不知道的一切,或源碼

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1.一次函數：y=x,定義域[-200,300]

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1.1：幾個成員變量

private TreeSet<Float> Df = new TreeSet<>();//定義域
private Map<Float, Float> funMap = new HashMap<>();//映射表
private Paint mTextPaint;//文字畫筆
複製代碼

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1.2:初始化定義域

/**
 * 初始化定義域
 */
private void initDf() {
    for (float i = -200; i <= 300; i++) {
        Df.add(i);//初始化定義域
    }
}
複製代碼

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1.3：對應法則fx

/**
 * 對應法則
 * @param x 原像(自變量)
 * @return 像(因變量)
 */
private float f(Float x) {
    float y = x;
    return y;
}
複製代碼

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1.4:遍歷定義域,將原像x和像f(x)加入映射表

/**
 * 遍歷定義域,將原像x和像f(x)加入映射表
 */
private void map() {
    Df.forEach(x -> {
        funMap.put(x, f(x));
    });
    //添加全部點
}
複製代碼

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1.5:繪製映射表

/**
 * 繪製映射表
 * @param canvas 畫筆
 * @param map 點集映射表
 */
private void drawMap(Canvas canvas, Map<Float, Float> map) {
    map.forEach((k, v) -> {
        canvas.drawPoint(k, v, mPaint);
    });
}
複製代碼

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2.絕對值函數：y=|x|,定義域[-200,300]

只需改一點

/**
 * 對應法則
 * @param x 原像(自變量)
 * @return 像(因變量)
 */
private float f(Float x) {
    float y=Math.abs(x);
    return y;
}
複製代碼

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3.二次函數,定義域[-200,300]

/**
 * 對應法則
 * @param x 原像(自變量)
 * @return 像(因變量)
 */
private float f(Float x) {
    float y=(x - 100) * (x - 100) / 200 + 100;
    return y;
}
複製代碼

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4.對數函數：log10(x)爲例,定義域[1,1000]

/**
 * 初始化定義域
 */
private void initDf() {
    for (float i = 1; i <= 1000; i++) {
        Df.add(i);//初始化定義域
    }
}

/**
 * 對應法則
 *
 * @param x 原像(自變量)
 * @return 像(因變量)
 */
private float f(Float x) {
    float y = (float) (100.f * Math.log10(x));
    return y;
}
複製代碼

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5.指數函數：定義域[-400,500]

/**
 * 初始化定義域
 */
private void initDf() {
    for (float i = -400; i <= 500; i++) {
        Df.add(i);//初始化定義域
    }
}

/**
 * 對應法則
 *
 * @param x 原像(自變量)
 * @return 像(因變量)
 */
private float f(Float x) {
    float y= 100*(float) Math.pow(Math.E,x/300f);
    return y;
}
複製代碼

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6.正弦函數：定義域[-360°,450°]

/**
 * 初始化定義域
 */
private void initDf() {
    for (float i =-360; i <= 450; i++) {
        Df.add(i);//初始化定義域
    }
}

/**
 * 對應法則
 *
 * @param x 原像(自變量)
 * @return 像(因變量)
 */
private float f(Float x) {
    float y= (float) (100*Math.sin(Math.PI/180*x));
    return y;
}
複製代碼

經歷過上面幾個函數的繪製，不難發現，只有更改對應法則，即函數關係式就能夠了

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3、極座標下的函數圖象

1).尋找角度thta和長度p的函數關係
2).使用極座標與直角座標系的轉換關係來繪製點集

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1.笛卡爾心型線：ρ= 100*(1-cosθ)

/**
 * 初始化定義域
 */
private void initDf() {
    for (float i = 1; i <= 360; i++) {
        Df.add(i);//初始化定義域
    }
}

/**
 * 繪製映射表
 *
 * @param canvas 畫筆
 * @param map    點集映射表
 */
private void drawMap(Canvas canvas, Map<Float, Float> map) {
    map.forEach((thta, p) -> {
        Log.e(TAG, "drawMap: "+p+thta);
        canvas.drawPoint((float) (p * Math.cos(thta)), (float) (p * Math.sin(thta)), mPaint);
    });
}

/**
 * 對應法則
 *
 * @param thta 原像(自變量)
 * @return 像(因變量)
 */
private float f(Float thta) {
    float p = (float) (100 * (1 - Math.cos(thta)));
    return p;
}

/**
 * 遍歷定義域,將原像x和像f(x)加入映射表
 */
private void map() {
    Df.forEach(x -> {
        float thta = (float) (Math.PI / 180 * x);
        funMap.put(thta, f(thta));
    });
    //添加全部點
}
複製代碼

---

2.四葉草：ρ= 100*(1-4*sinθ)

/**
 * 對應法則
 *
 * @param thta 原像(自變量)
 * @return 像(因變量)
 */
private float f(Float thta) {
    float p = (float) (100 * (1 - Math.sin(4 * thta)));
    return p;
}
複製代碼

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3.畫着玩：ρ=(e^(cosθ)- 2cos(4θ) + [sin(θ/12)]^5)*100

/**
 * 對應法則
 *
 * @param thta 原像(自變量)
 * @return 像(因變量)
 */
private float f(Float thta) {
    float p = (float) (100f*(Math.pow(Math.E,Math.cos(thta)) - 2 * Math.cos(4 * thta) + Math.pow(Math.sin(thta / 12), 5)));;
    return p;
}
複製代碼

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4.渦旋線：ρ= a*θ

/**
 * 對應法則
 *
 * @param thta 原像(自變量)
 * @return 像(因變量)
 */
private float f(Float thta) {
    float p = 30*thta;
    return p;
}
複製代碼

---

5.極座標下的圓

/**
 * 對應法則
 *
 * @param thta 原像(自變量)
 * @return 像(因變量)
 */
private float f(Float thta) {
    float p = 200;
    return p;
}

複製代碼

---

4、參數方程下的函數圖象

1.雙曲線：x=a/cosα,y=btanα

/**
     * 初始化定義域
     */
    private void initDf() {
        for (float i = 0; i <= 360 ; i++) {
            Df.add(i);//初始化定義域
        }
    }

    /**
     * 繪製映射表
     *
     * @param canvas 畫筆
     * @param map    點集映射表
     */
    private void drawMap(Canvas canvas, Map<Float, Float> map) {
        map.forEach((k, v) -> {
            canvas.drawPoint(k, v, mPaint);
        });
    }

    /**
     * 對應法則
     *
     * @param thta 原像(自變量)
     * @return y像(因變量)
     */
    private float y(Float thta) {
        float y = (float) (100 * Math.tan(thta));
        return y;
    }

    /**
     * 對應法則
     *
     * @param thta 原像(自變量)
     * @return x像(因變量)
     */
    private float x(Float thta) {
        float x = (float) (200 / Math.cos(thta));
        return x;
    }

    /**
     * 遍歷定義域,將原像x和像f(x)加入映射表
     */
    private void map() {
        Df.forEach(x -> {
            float thta = (float) (Math.PI / 180 * x);
            funMap.put(x(thta), y(thta));
        });
        //添加全部點
    }
複製代碼

---

2.橢圓：x=a*cosα,y=bsinα

/**
 * 對應法則
 *
 * @param thta 原像(自變量)
 * @return y像(因變量)
 */
private float y(Float thta) {
    float y = (float) (300 * Math.sin(thta));
    return y;
}
/**
 * 對應法則
 *
 * @param thta 原像(自變量)
 * @return x像(因變量)
 */
private float x(Float thta) {
    float x = (float) (400 * Math.cos(thta));
    return x;
}
複製代碼

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3.參數方程:雙鈕線x=a√(cos2θ )cosθ,y=a√(cos2θ)sinθ

/**
 * 對應法則:y=a√(cos2θ)sinθ
 *
 * @param thta 原像(自變量)
 * @return y像(因變量)
 */
private float y(Float thta) {
    float y = (float) (200 * Math.sqrt(Math.cos(2*thta))*Math.sin(thta));
    return y;
}

/**
 * 對應法則:x=a√(cos2θ )cosθ
 *
 * @param thta 原像(自變量)
 * @return x像(因變量)
 */
private float x(Float thta) {
    float x = (float) (200 * Math.sqrt(Math.cos(2*thta))*Math.cos(thta));
    return x;
}
複製代碼

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5、分析與優化

1.分析

你可能已經吐槽了:什麼鬼，怎麼後面都是斷斷續續的點拼成的
等等...先別急，咱們來看看這幅圖能說明什麼?
先看一下定義域: [-360,450]，共810個點，每一個點半徑1px，每一個點橫向距離1px
點密集則說明相鄰兩點間的dy很小，相反，稀疏則說明相鄰兩點間的dy很大
也就是密集說明函數變化的幅度小，稀疏說明函數變化的幅度大
當相鄰兩點距離大於圓的直徑（2px）時，視覺上會看出兩個點，即不連續。

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2.分析總結

爲了方便描述，這裏定義了幾個概念

若是把一條完美的函數曲線看做P，
那全部現實中(紙、屏幕)的函數圖象P'都是對P的取點模擬， 從P上取點的行爲稱爲[取樣]， 採樣的個數稱爲[取樣總數]， 取樣的相鄰兩點xn,xn+1間的距離稱爲[取樣距離dxn] 當每一個dxn值都相等的時，稱爲[等距採樣] 兩個樣本點pn,pn+1之間的距離稱爲[樣本距離dpn] 複製代碼

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3.看一下連續的點有哪些

在加入點集時過濾掉相鄰兩點間距離大於直徑的點

/**
 * 兩點間的距離
 * @return
 */
private float dis(float x0, float y0, float x1, float y1) {
    return (float) Math.sqrt((x0 - x1) * (x0 - x1) + (y0 - y1) * (y0 - y1));
}
複製代碼

/**
 * 遍歷定義域,將原像x和像f(x)加入映射表
 */
private void map() {
    Df.forEach(x -> {
        float dis = dis(x, f(x), x + 1, f(x + 1));//每相鄰兩點間距離
        if (dis < mLineWidth && dis > mLineWidth / 2) {
            funMap.put(x, f(x));
        }
    });
複製代碼

---

4.不行連續的點處理思路：

思路也就是在間距處再取樣

/**
 * 遍歷定義域,將原像x和像f(x)加入映射表
 */
private void map() {
    Df.forEach(x -> {
        float dis = dis(x, f(x), x + 1, f(x + 1));//每相鄰兩點間距離
        if (dis < mLineWidth && dis > mLineWidth / 2) {
            funMap.put(x, f(x));
        } else if (dis > mLineWidth) {
            float num = dis / mLineWidth;//在切割數
            for (float di = 0; di <= num; di += (1.f / num)) {
                x += di;
                funMap.put(x, f(x));
            }
        }
    });
    //添加全部點
}
複製代碼

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6、正弦函數的詳細分析

1.正弦函數簡介

其中A，ω，φ，k是常數，且ω≠0
振幅:A
角頻率:ω
週期:T=2π/ω 
頻率:f=1/T=ω/2π
相位:ωx+φ
初相:φ
平衡線：y=k
波峯：最大值|A|
波谷：最小值-|A|
複製代碼

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2.振幅A:離開平衡位置的最大距離

下面橫軸的每格表明90°,化爲弧度製表示即：π/2,每四格是360°,即2π

2.1：A=300

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2.2：A=100

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2.3:振幅的做用

決定正弦曲線的波峯與波谷，形象來講就是"高矮" 
振幅越大，波峯越高，波谷越低，每一個週期的圖象顯得"高"
複製代碼

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3.角頻率ω:單位時間內變化的相角弧度值

3.1：ω=2

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3.2：ω=5

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3.3：角頻率的做用

決定正弦曲線的週期，形象來講就是"胖瘦" 
角頻率越大，週期越小，每一個週期的圖象顯得"瘦"

ω=2 週期：T = 2π/ω = π 從圖中看，每兩格一週期,即π 
頻率：f = 1/T = 1/π
複製代碼

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4.初相φ：x=0時的相位

4.1:φ=π/6

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4.2:φ=π/2

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4.3:振幅的做用

相位決定了標準正弦函數的左右偏移:正左偏，負右偏，偏移量：φ/ω
複製代碼

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5.平衡值k：決定平衡線的位置

5.1:k=100

---

5.2:k=200

5.3:平衡值的做用

平衡值決定標準正弦函數的上下偏移：正上偏，負下偏，偏移量：k
複製代碼

如今對於幾個正弦函數的參數值已經有了一點了解,本篇結束

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附錄：一些經常使用符號：

←	↑	→	↓
∪	∩	⊂	⊃
∈	∝	⊆	⊇
∞	θ	ρ	φ
π	α	β	γ
η	μ	ζ	Ω

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後記：捷文規範

1.本文成長記錄及勘誤表

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V0.1-github	2018-1-2	Android繪製函數圖象及正弦函數的介紹

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1----本文由張風捷特烈原創,轉載請註明
2----歡迎廣大編程愛好者共同交流
3----我的能力有限，若有不正之處歡迎你們批評指證，一定虛心改正
4----看到這裏，我在此感謝你的喜歡與支持

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