個人筆記之斐波那契數列

青蛙跳臺階：

一隻青蛙一次能夠跳上一級臺階也能夠一次跳上兩級的臺階， 如今有一個n級的臺階，問青蛙有多少種跳法？

反向思考：

要想跳上第 n 級臺階，該怎麼跳？

答：要麼從第 n−1 級臺階跳一級上來，要麼從第 n−2 級臺階跳兩級上來，再無他法。

所以，令 f(n) 表示從第一級臺階跳上第 n 級臺階有跳法總數。則有以下遞推公式：

f(n)=f(n−1)+f(n−2)

這很明顯就是斐波那契數列嘛！那麼問題就簡單了，代碼以下：

public int JumpFloor(int n) {
	if (n < 1) {return -1;}
	if (n == 1) {return 1;}
	if (n == 2) {return 2;}
	int result = 0, temp1 = 1, temp2 = 2, count = 0;
	while (count != n - 2) {//由於count==1的時候，result是3級時的結果，以此類推，n級時，count==n-2
		result = temp1 + temp2;
		temp1 = temp2;
		temp2 = result;
		count++;
	}
	return result;
}複製代碼

變形青蛙跳臺階：

一隻青蛙一次能夠跳上1級臺階，也能夠跳上2級……它也能夠跳上n級。 求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法？

一樣反過來思考：

跳上第n階臺階，有多少種跳法？

答：能夠從n-1階跳上來，也能夠從n-2階跳上來，也能夠從n-3階跳上來……能夠從第1階跳上來。則：

f(n)=f(n-1)+f(n-2)+…f(1)

同理：

f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+…f(1)

綜上：

f(n)=2f(n−1)=4f(n−2)=8f(n−3)=...

即：

f(n)=2f(n−1)=2^2f(n−2)=2^3f(n−3)=...=2^(n−1)f(n−(n−1))=2^(n−1)f(1)

由於 f(1)=1，因此 f(n)=2^(n-1)。

public static int JumpFloorII(int n) {
    int result=1;
    for(int i=1;i<=n-1;i++){
        result=result*2;
    }
    return result;
}複製代碼

矩形覆蓋問題：

咱們能夠用2*1的小矩形橫着或者豎着去覆蓋更大的矩形。請問用n個2*1的小矩形無重疊地覆蓋一個2*n的大矩形，總共有多少種方法？

若第一個矩形豎着填充，那麼問題就變成了求填充2*（n-1）大矩形的方法數

若第一個矩形橫着填充，那麼它下面的兩個格子只能一樣橫着填充，問題就變成了求填充2*（n-2）大矩形的方法數

若令f(n)表示填充n*2的大矩形則：

f(n)=f(n-1)+f(n-2)

一樣這也是一個斐波那契數列，解決代碼和第一個問題同樣；

斐波那契數列原問題：

解法以下：

// 解法1：算法簡潔但效率較低（不推薦）
public int Fibonacci(int n,String mark) {
    if(n<=0){
    return 0;
    }
    if(n==1){
    return 1;
    }
    return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}
// 解法2：思路清晰且效率高
public static int Fibonacci(int n) {
	if (n <= 0) {
     return 0;
	}
	if (n == 1) {
     return 1;
	}
	int result = 0, temp1 = 0, temp2 = 1, count = 0;
	while (count != n - 1) {
		result = temp1 + temp2;
		temp1 = temp2;
		temp2 = result;
		count++;
	}
	return result;
}複製代碼