LeetCode69. Sqrt(x) -- 求一個數的開方

描述

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x, where x is guaranteed to be a non-negative integer.

Since the return type is an integer, the decimal digits are truncated and only the integer part of the result is returned.

Example：

Input: 8
Output: 2
Explanation: The square root of 8 is 2.82842..., and since 
             the decimal part is truncated, 2 is returned.

分析

該題就是求一個數的開平方，此處忽略這種直接用int(x ** 0.5)的作法；

最簡單的求解方式是從1進行遍歷，直到找到一個數n，知足$n^2>x$，則此時$n-1$就是要找的值，可是該方法須要遍歷$int(\sqrt x)$次，當$x$的數值很大時，須要遍歷的次數太多；

因此這裏採用牛頓迭代法來進行開方，牛頓迭代法能開任意數的平方，並能找到一個逼近解，固然該題只須要找到對應的整數解就能夠。牛頓迭代法的原理很簡單，實際上是根據$f(x)=x^2 - a$在$x_0$附近的值和斜率，估計$f(x)$和$x$軸的交點，所以牛頓迭代法的公式爲：

$$x_{n+1}=x_n - \frac{f(x_n)}{f^{'}(x_n)}$$

其實就是求切線與x軸的交點。

代碼

class Solution:
    def mySqrt(self, x):
        """
        利用牛頓法進行x0的更新，比直接從1開始遍歷所做的循環要少
        :type x: int
        :rtype: int
        """
        x0 = 1
        while True:
            x1 = x0 - (x0 ** 2 - x)/(2*x0)
            if int(x1) == int(x0):
                break
            else:
                x0 = x1
        return int(x0)

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牛頓迭代法的基本原理，請參考：
牛頓迭代法求開平方