堆與堆排序

二叉堆的定義

二叉堆是徹底二叉樹或者是近似徹底二叉樹。

二叉堆知足二個特性：

1．父結點的鍵值老是大於或等於（小於或等於）任何一個子節點的鍵值。

2．每一個結點的左子樹和右子樹都是一個二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

當父結點的鍵值老是大於或等於任何一個子節點的鍵值時爲最大堆。當父結點的鍵值老是小於或等於任何一個子節點的鍵值時爲最小堆。下圖展現一個最小堆：

因爲其它幾種堆（二項式堆，斐波納契堆等）用的較少，通常將二叉堆就簡稱爲堆。

堆的存儲

通常都用數組來表示堆，i結點的父結點下標就爲(i – 1) / 2。它的左右子結點下標分別爲2 * i + 1和2 * i + 2。如第0個結點左右子結點下標分別爲1和2。

堆的操做——插入刪除

下面先給出《數據結構C++語言描述》中最小堆的創建插入刪除的圖解，再給出本人的實現代碼，最好是先看明白圖後再去看代碼。

每次插入都是將新數據放在數組最後。能夠發現從這個新數據的父結點到根結點必然爲一個有序的數列，如今的任務是將這個新數據插入到這個有序數據中——這就相似於直接插入排序中將一個數據併入到有序區間中，對照《白話經典算法系列之二 直接插入排序的三種實現》不難寫出插入一個新數據時堆的

堆的刪除

按定義，堆中每次都只能刪除第0個數據。爲了便於重建 堆，實際的操做是將最後一個數據的值賦給根結點，而後再從根結點開始進行一次從上向下的調整。調整時先在左右兒子結點中找最小的，若是父結點比這個最小的 子結點還小說明不須要調整了，反之將父結點和它交換後再考慮後面的結點。至關於從根結點將一個數據的「下沉」過程。

堆化數組

有了堆的插入和刪除後，再考慮下如何對一個數據進行堆化操做。要一個一個的從數組中取出數據來創建堆吧，不用！先看一個數組，以下圖：

很 明顯，對葉子結點來講，能夠認爲它已是一個合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都分別是一個合法的堆。只要從A[4]=50開始向下調整就能夠了。而後再取A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9分別做一次向下調整操做就能夠了。下圖展現了這些步驟：

至此，堆的操做就所有完成了(注1)，再來看下如何用堆這種數據結構來進行排序。

堆排序

首先能夠看到堆建好以後堆中第0個數據是堆中最小的數據。取出這個數據再執行下堆的刪除操做。這樣堆中第0個數據又是堆中最小的數據，重複上述步驟直至堆中只有一個數據時就直接取出這個數據。

由 於堆也是用數組模擬的，故堆化數組後，第一次將A[0]與A[n - 1]交換，再對A[0…n-2]從新恢復堆。第二次將A[0]與A[n – 2]交換，再對A[0…n - 3]從新恢復堆，重複這樣的操做直到A[0]與A[1]交換。因爲每次都是將最小的數據併入到後面的有序區間，故操做完成後整個數組就有序了。有點相似於直接選擇排序。

注意使用最小堆排序後是遞減數組，要獲得遞增數組，可使用最大堆。

由 於每次從新恢復堆的時間複雜度爲O(logN)，共N - 1次從新恢復堆操做，再加上前面創建堆時N / 2次向下調整，每次調整時間複雜度也爲O(logN)。二次操做時間相加仍是O(N * logN)。故堆排序的時間複雜度爲O(N * logN)。STL也實現了堆的相關函數，能夠參閱《STL系列之四 heap 堆》。

 

package sample;

public class HeapSort {

    // 新加入i結點 其父結點爲(i - 1) / 2
    void MinHeapFixup(int a[], int i) {
        int j, temp;

        temp = a[i];
        j = (i - 1) / 2; // 父結點
        while (j >= 0 && i != 0) {
            if (a[j] <= temp)
                break;

            a[i] = a[j]; // 把較大的子結點往下移動,替換它的子結點
            i = j;
            j = (i - 1) / 2;
        }
        a[i] = temp;
    }

    // 在最小堆中加入新的數據nNum
    void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum) {
        a[n] = nNum;
        MinHeapFixup(a, n);
    }

    // 從i節點開始調整,n爲節點總數 從0開始計算 i節點的子節點爲 2*i+1, 2*i+2
    void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n) {
        int j, temp;

        temp = a[i];
        j = 2 * i + 1;
        while (j < n) {
            if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) // 在左右孩子中找最小的
                j++;

            if (a[j] >= temp)
                break;

            a[i] = a[j]; // 把較小的子結點往上移動,替換它的父結點
            i = j;
            j = 2 * i + 1;
        }
        a[i] = temp;
    }

    // 在最小堆中刪除數
    void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n) {
        int temp;
        temp = a[0];
        a[0] = a[n - 1];
        a[n - 1] = temp;
        MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);
    }

    // 創建最小堆
    void MakeMinHeap(int a[], int n) {
        for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
            MinHeapFixdown(a, i, n);
    }

    void MinheapsortTodescendarray(int a[], int n) {
        for (int i = n - 1; i >= 1; i--) {
            int temp;
            temp = a[i];
            a[i] = a[0];
            a[0] = temp;
            MinHeapFixdown(a, 0, i);
        }
    }

}