累了嗎？來挑戰一下算法趣題，看看本身是哪一個段位的程序猿吧！

 在這個突飛猛進的互聯網時代中，但萬變不離其宗的是，「算法」是其重要基石。要編寫高效率的程序，就須要優化算法。不管開發工具如何進化，熟識並能靈活運用算法仍然是對程序員的基本要求。

這裏爲那些已經學習過排序、搜索等知名算法，並想要學習更多有趣的算法，進一步提高編程技巧的工程師們準備了四道數學謎題形式的問題。這四道趣題分青銅、黃金、鉑金，鑽石級別。

在挑戰以前，先介紹下問題的具體形式：

每一個問題大體分爲「答案」和「解析」兩部分。

請各位先通讀問題描述，並動手編寫程序嘗試解題。在這個過程當中，具體的實現方法是其次，更重要的是思考「經過哪些步驟來實現纔可以解決問題」。

每一個問題都有思路講解和源代碼示例。請留意本身編程時在處理速度、可讀性等方面進行的優化，和本文的源代碼示例有什麼不一樣。若是事先看了思路講解和答案，就會失去解題的樂趣，因此這裏建議你們先編程解題，再看講解。

爲了你們更好的享受解題樂趣，把「答案」和「解析」放在了最後。

你準備好接招了嗎？

 

Q1：倔強青銅

嘗試用編程解決問題

 

難度係數：★

優秀的掃地機器人

（IQ：80    目標時間：20分鐘）

如今有不少製造商都在賣掃地機器人，它很是有用，能爲忙碌的咱們分擔家務負擔。不過咱們也很難理解爲何掃地機器人有時候會反覆清掃某一個地方。

假設有一款不會反覆清掃同一個地方的機器人，它只能先後左右移動。舉個例子，若是第1 次向後移動，那麼連續移動3 次時，就會有如下9 種狀況（如圖 ）。又由於第1 次移動能夠是先後左右4 種狀況，因此移動3 次時所有路徑有9×4 ＝ 36 種。

※ 最初的位置用0 表示，其後的移動位置用數字表示。

（移動路徑事例）

問題：求這個機器人移動12 次時，有多少種移動路徑？

(ps:最初三次的移動方向很自由，從第四次開始，座標有些方向就不能移動啦）

 

Q2：榮耀黃金

解決簡單問題體會算法效果

難度係數：★★

朋友的朋友也是朋友嗎

（IQ：90    目標時間：25分鐘）

「六度空間理論」很是有名。大概的意思是1 我的只須要經過6 箇中間人就能夠和世界上任何1 我的產生間接聯繫。本題將試着找出數字的好友（這裏並不考慮親密指數）。

假設擁有一樣約數（不包括1）的數字互爲「好友」，也就是說，若是兩個數字的最大公約數不是1，那麼稱這兩個數互爲好友。

從1~N 中任意選取一個「合數」，求從它開始，要經歷幾層好友，才能和其餘全部的數產生聯繫（所謂的「合數」是指「有除1 以及自身之外的約數的天然數」）。

舉個例子，N ＝ 10 時，1~10 的合數是四、六、八、九、10 這5 個。

若是選取的是10，那麼10 的好友數字就是公約數爲2 的四、六、8這3 個。而9 是6 的好友數字（公約數爲3），因此10 只須要通過2 層就能夠和9 產生聯繫（如圖 ）。若是選取的是6，則只需通過1 層就能夠聯繫到四、八、九、10 這些數字。所以N ＝ 10 時，不管最初選取的合數是什麼，最多通過2 層就能夠與其餘全部數產生聯繫。

（N=10的時候）

問題： 求從1~N 中選取7 個合數時，最多通過6 層就能夠與其餘全部數產生聯繫的最小的N。

 

Q3：尊貴鉑金

優化算法實現高速處理

難度係數：★★★

優雅的IP 地址

（IQ：100    目標時間：30分鐘）

可能大部分讀者都清楚，IPv4 中的IP 地址是二進制的32 位數值。不過，這樣的數值對咱們人類而言可讀性比較差，因此咱們一般會以8 位爲1 組分割，用相似192.168.1.2 這種十進制數來表示它。

 

 

（IP地址 IPv4）

這裏，咱們思考一下十進制數0~9 這10 個數字各出現1 次的IP 地址（像正常狀況同樣，省略每組數字首位的0。也就是說，不能像192.168.001.002 這樣表示，而要像192.168.1.2 這樣來表示）。

 

問題： 求用二進制數表示上述形式的IP 地址時，能使二進制數左右對稱的IP 地址的個數（用二進制數表示時不省略0，用完整的32 位數表示）。 （ps：IPv4的IP地址用十進制表示時，以點號分割的各部分數字都在0~255這個範圍內。能夠經過求「比特列爲8位且左右對稱」的數值，並將其設置在以點號分割的各部分上來解題。）

 

Q4：永恆鑽石

改變思路讓程序速度更快

難度係數：★★★★

異性相鄰的座次安排

（IQ：130    目標時間：60分鐘）

回想起學生時期調座位的時候，咱們的內心老是會小鹿亂撞。想必不少人都對誰會坐本身旁邊這件事莫名地激動吧？

這裏咱們考慮一種「先後左右的座位上必定都是異性」的座次安排。也就是說，像圖右側那樣，先後左右都是同性的座次安排是不符合要求的（男生用藍色表示，女生用灰色表示）。（座位安排示例）

問題： 假設有一個男生和女生分別有15 人的班級，要像圖26 那樣，排出一個6×5的座次。求知足上述條件的座次安排共多少種（先後或者左右鏡像的座次也看做不一樣的安排。另外，這裏不在乎具體某個學生坐哪裏，只看男生和女生的座次安排）？ （ps：剪枝能夠有效的縮小搜索範圍哦）

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~華麗麗的分割線~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

使人激動的答案來啦~

Q1答案：324932

詳細解析：用座標(0, 0) 表示最初的位置。從這個原點開始，避開已經走過的座標，使機器人前進。用深度優先搜索就能夠實現邏輯，如圖所示。

 

 

Q2答案：55（知足條件的組合爲：【4,26,39,55,35,49】）

詳細解析：要解決這個問題，首先要正確理解問題中出現的詞。首先是「合數」。

其次是「公約數」這個詞。小學的時候，咱們就作過求最大公約數的題。公約數的意思就是「共同的約數」。這裏，擁有共同約數的數字互爲「好友」，那麼就須要求最大公約數非1 的狀況。

從1~N 中選取7 個合數，且「最多通過6 層」，那麼能夠得知，咱們要找的是「由2 個數相乘獲得的數字」的組合。這樣的話，乘法運算中的這2 個數就會成爲公約數。

舉個例子，選出a~h 這些數。簡單地說就是，當7 個數字分別是如下的形式時，通過6 層就能與其餘全部數產生聯繫。

a × b, b× c, c× d, d × e, e × f, f× g, g ×h

※這裏a~h 這些數字必須「互質」。

更進一步考慮，也能夠像本題中的例子同樣，把第1 個數字設置成「平方數」（即4），也就是說變成下面這樣的組合更好。

a × a, a × b, b × c, c × d, d × e, e × f, f × g

末尾若是一樣設置成平方數就會變得更小，也就是變成下面這樣的組合。

 a × a, a × b, b × c, c × d, d × e, e × f, f × f 

 用Ruby 能夠如圖實現。

 

Q3答案：8個
詳細解析：按照題意，用十進制數表示時要使用0~9 這10 個數字各1 次，那麼最高位是除0 之外的9 種狀況，而其餘各個數位可分別使用0~9 這10個數字各1 次，其排列組合一共9!（9 的階乘）種，因此總共要遍歷9×9! 種，也就是3265920 種狀況。

要想求左右對稱的二進制數，能夠經過把16 位的二進制數逆序排列，並將結果與該16 位的二進制數自己拼合，即生成32 位數來求得。由於是16 位，因此全量搜索時只須要遍歷65536 種狀況便可。

而後，把這個二進制數轉換成十進制數，分別使用0~9 這10 個數字各1 次便可。

 

用Ruby 實現時，代碼如圖 所示。