【紀中集訓2019.3.11】Cubelia

題目：

描述

給出長度爲$n$的數組$a$和$q$個詢問$l,r$。

求區間$[l,r]$的全部子區間的前綴和的最大值之和；

範圍：

$n \le 2 \times 10^5 , q \le 10^7 $；

數據給出的$S,A,B,P$參數隨機生成，附加文件給出數據生成器；

保證任意一個連續子序列的最大前綴和不超過$10^6$ ;

題解：

• Part1

• $[1,l-1]$的$a_{i}$對區間$[l,r]$的前綴和的大小是沒用影響的，因此直接算答案就是；

$$ 記sum_{i} = \sum_{j=1}^{i}a_{i} \ \begin{align} ans_{l,r} = \sum_{i=l}^{r}\sum_{j=i}^{r} max^{j}{k=i}{sum{k}} - \sum_{i=l-1}^{r-1} sum_{i}(r-i) \end{align} $$

• 考慮如何求區間連續子序列最大值之和；

• $kczno1$的作法： https://loj.ac/article/489

• 一個奇葩作法：

• 對$sum$建出笛卡爾樹，考慮一個節點的有效區間是$[l_{i},r_{i}]$；

• 預先處理出每一個點的貢獻:$s_{i} = (i - l_{i}+1) \ (r_{i} - i + 1)$ ;

• 考慮直接求$\sum_{i=l}^{r}s_{i}$多算了什麼，多算的部分其實就是$l_{i}$超出$l$或者$r_{i}$$超出$r​$的狀況；

• 記$u爲l的祖先且u>l，v爲r的祖先且v<r ， w = lca(l,r)$;

• 多算的部分就是：$\sum_{u=l}^{u<w} (l-l_{u})(r_{u}-u+1) + \sum_{v=r}^{v>w} (r-r_{v})(v-l_{v}+1) $

• 這個式子能夠在笛卡爾的左樹和右樹上處理一下前綴；

• 注意在$w$的時候（也就是區間最值的位置）$u$和$v$都會超出，特判一下便可；

• Part2 $\pm rmq$

• 標算須要一個$O(1)$的$rmq$ ，(我沒寫這個，卡一卡常數也能夠過的);

• 區間最值問題能夠經過笛卡爾樹轉化成$lca$;

• 注意到$lca$的$rmq$相鄰的值相差爲$1或-1$

• 對序列分塊令分塊大小$B = \frac{log \ n}{2}$，差分後$2^B B^2$處理全部本質不一樣的塊的區間最值的位置；

• 對$\frac{n}{B}$個塊作$rmq$, 整塊直接$O(1)$查詢rmq​$，散塊調用預處理的塊內最值；

• 複雜度是：$O(\sqrt{n}log^2n \ + \ n ) = O(n)$ ；

  #include <bits/stdc++.h>
  #define ll long long 
  #define mod 998244353
  #define inf 1e18
  #define il inline 
  #define rg register 
  using namespace std;
  inline int R() {
      int rt = 0;
      char ch = getchar();
      bool isn = false;
      for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) isn = ch == '-' ? true : isn;
      for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) rt = rt * 10 + ch - '0';
      return isn ? -rt : rt;
  }
  const int N=2000010;
  ll a[2000007];
  int n, q, ans;
  int S, A, B, P, tp;
  long long lastans;
  inline int Rand() {
      S = (S * A % P + (B ^ (tp * lastans))) % P;
      S = S < 0 ? -S : S;
      return S;
  }
  int f[N][21],bin[21],rt,lg[N],le[N],ri[N],ls[N],rs[N];
  ll fl[N],Ls1[N],Ls2[N],fr[N],Rs1[N],Rs2[N];
  ll S1[N],S2[N],s[N];
  int sta[N],top;
  il int Max(int x,int y){
  	if(a[x]==a[y])return x>y?x:y;
  	return a[x]>a[y]?x:y;
  }//
  il int ask(int x,int y){
  	int t = lg[y - x + 1];
  	return Max(f[x][t], f[y-bin[t]+1][t]);
  }//
  il void dfs1(int k){
  	le[k]=ri[k]=k;
  	if(ls[k])dfs1(ls[k]),le[k]=le[ls[k]];
  	if(rs[k])dfs1(rs[k]),ri[k]=ri[rs[k]];
  }
  il void dfs2(int k){
  	s[k] = (ll)(k - le[k] + 1)*(ri[k] - k + 1)*a[k];
  
  	int t = fl[k] ; ll x = a[k]*(k-le[k]+1);
  	Ls1[k] = Ls1[t] + x; 
  	Ls2[k] = Ls2[t] + x*ri[k]; 
  	//
  	t = fr[k]; x = a[k]*(ri[k]-k+1);
  	Rs1[k] = Rs1[t] + x;
  	Rs2[k] = Rs2[t] + x*le[k];
  	//
  	if(ls[k]){
  		fr[ls[k]]=k;
  		fl[ls[k]]=fl[k];
  		dfs2(ls[k]);
  	} 
  	if(rs[k]){
  		fl[rs[k]]=k;
  		fr[rs[k]]=fr[k];
  		dfs2(rs[k]);
  	}
  }//
  il void pre_solve(){
  	for(rg int i=bin[0]=1;i<=20;++i)bin[i]=bin[i-1]<<1;
  	for(rg int i=1;i<=n;++i){
  		a[i] += a[i-1];
  		S1[i] = S1[i-1] + a[i];
  		S2[i] = S2[i-1] + a[i]*i;
  	}
  	lg[0]=-1;a[0]=-inf;
  	for(rg int i=1;i<=n;++i)f[i][0]=i,lg[i]=lg[i>>1]+1;
  	for(rg int i=1;i<=20;++i)
  	for(rg int j=1;j+bin[i]-1<=n;++j){
  		f[j][i] = Max(f[j][i-1], f[j+bin[i-1]][i-1]);
  	}
  	for(int i=1;i<=n;++i){
  		while(top&&Max(sta[top],i)==i)ls[i]=sta[top--];
  		if(top)rs[sta[top]]=i;
  		sta[++top]=i;
  	}
  	rt = sta[1];
  	dfs1(rt);
  	dfs2(rt);
  	for(rg int i=1;i<=n;++i)s[i]+=s[i-1]; 
  }//
  il ll cal1(int l,int r){
  	l = max(2, l); 
  	return r * (S1[r-1] - S1[l-2]) - (S2[r-1] - S2[l-2]) ;
  }//
  il ll cal2(int l,int r){
  	int t = ask(l,r);
  	ll re = (s[r]-s[l-1]) - (ll)(t - le[t] + 1) * (ri[t] - t + 1) * a[t] + (ll)(t - l + 1) * (r - t + 1) * a[t] ; 
  	re -= l * (Rs1[l] - Rs1[t]) - (Rs2[l] - Rs2[t]);
  	re -= (Ls2[r] - Ls2[t]) - r * (Ls1[r] - Ls1[t]);
  	return re;
  }//
  il long long solve(int l, int r){
  	return cal2(l, r)-cal1(l, r);
  }//
  int main() {
      freopen("cubelia.in", "r", stdin);
      freopen("cubelia.out", "w", stdout);
      n=R(),q=R();
      for(rg int i=1;i<=n;++i)a[i]=R();
      S=R(),A=R(),B=R(),P=R(),tp=R();
      pre_solve();
      for (;q;--q){
          int l=Rand()%n+1,r=Rand()%n+1;
  		if (l>r)swap(l,r);
          lastans=solve(l,r);
      	ans=(ans+lastans%mod)%mod;
  	}
  	cout<<(ans+mod)%mod<<endl;
      return 0;
  }//