Link Cut Tree 學習筆記

時間  2019-11-20
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Link Cut Tree 學習筆記

說在前邊

最近補 CF 遇見一道 LCT ，就打算學習一下這個東西。。。順便複習一下 splay。html

具體算法及實現

參考了FlashHu， Candy?c++

題目：給定n個點以及每一個點的權值，要你處理接下來的m個操做。操做有4種。操做從0到3編號。點從1到n編號。
0：後接兩個整數(x，y)，表明詢問從x到y的路徑上的點的權值的xor和。保證x到y是聯通的。
1：後接兩個整數(x，y)，表明鏈接x到y，若x到y已經聯通則無需鏈接。
2：後接兩個整數(x，y)，表明刪除邊(x，y)，不保證邊(x，y)存在。
3：後接兩個整數(x，y)，表明將點x上的權值變成y。git

作法：模板算法

Code數組

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
typedef long long ll;
const int N = 300010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
template<class T> inline void read(T &x) {
    x = 0; char c = getchar(); T f = 1;
    while(!isdigit(c)) {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(isdigit(c)) {x = x * 10 + c - '0'; c = getchar();}
    x *= f;
}
using namespace std;
class LCT {
private :
    struct Node {
        int ch[2], fa, rev, sum, w;
    } T[N];
    int st[N];
    #define lc T[p].ch[0]
    #define rc T[p].ch[1]
    #define pa T[p].fa
    inline int LR(int p) { return T[pa].ch[1] == p; }
    inline int isR(int p) { return T[pa].ch[0] != p && T[pa].ch[1] != p; }
    inline void PushUp(int p) { T[p].sum = T[lc].sum ^ T[rc].sum ^ T[p].w; }
    inline void Pushr(int p) { T[p].rev ^= 1; swap(lc, rc); }
    inline void PushDown(int p) {
        if(T[p].rev) {
            if(lc) Pushr(lc);
            if(rc) Pushr(rc);
            T[p].rev = 0;
        }
    }
    inline void rotate(int p) {
        int f=T[p].fa, g=T[f].fa, c=LR(p);
        if(!isR(f)) T[g].ch[LR(f)]=p; T[p].fa=g;
        T[f].ch[c] = T[p].ch[c^1]; T[T[f].ch[c]].fa=f;
        T[p].ch[c^1] = f; T[f].fa=p;
        PushUp(f); PushUp(p);
    }
    inline void splay(int p) {
        int y=p,z=0; st[++z]=y;
        while(!isR(y)) st[++z]=y=T[y].fa;
        while(z) PushDown(st[z--]);
        while(!isR(p)) {
            y=T[p].fa;z=T[y].fa;
            if(!isR(y)) rotate((T[y].ch[0]==p)^(T[z].ch[0]==y)?p:y);
            rotate(p);
        }
        PushUp(p);
    }
    inline void access(int p) {
        for(int y = 0; p; p = T[y = p].fa)
            splay(p), rc = y, PushUp(p);
    }
    inline void makeR(int p) {
        access(p); splay(p); Pushr(p);
    }
    int findR(int p) {
        access(p); splay(p);
        while(lc) PushDown(p), p = lc;
        splay(p);
        return p;
    }
public :
    inline void split(int x, int y) {
        makeR(x); access(y); splay(y);
    }
    inline void Link(int x, int y) {
        makeR(x);
        if(findR(y)!=x)T[x].fa=y;
    }
    inline void Cut(int x, int y) {
        makeR(x);
        if(findR(y) == x && T[y].fa == x && !T[y].ch[0]) {
            T[y].fa = T[x].ch[1] = 0; PushUp(x);
        }
    }
    inline int getSum(int p) { return T[p].sum; }
    inline void setW(int p, int v) { splay(p);T[p].w = v;PushUp(p); }
} tree;
int n, q, opt, u, v;
int main() {
    read(n), read(q);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) read(v), tree.setW(i, v);
    while(q--) {
        read(opt), read(u), read(v);
        if(opt == 0) tree.split(u, v), printf("%d\n",tree.getSum(v));
        else if(opt == 1) tree.Link(u, v);
        else if(opt == 2) tree.Cut(u, v);
        else if(opt == 3) tree.setW(u, v);
    }
}

CodeForces 1137F

題意：給定一棵n點樹。設第i個點當前編號爲\(p_i\)。已知一種遊戲，每次刪除葉子節點中編號最小的那個節點，而節點\(v\)在一次遊戲中被刪除的時間爲\(Ti(v)\)。有\(m\)組詢問，三種操做：1. \(up ~v\)將 \(v\) 點標號改成\(1 + max(p_1,p_2,...,p_n)\) 2. \(when ~v\)詢問 \(Ti(v)\) 3.\(compare ~u~v\), 比較\(Ti(u)\), \(Ti(v)\)。學習

作法：首先，操做3能夠轉化爲操做2。如今，假設咱們已經知道當前這棵樹每一個節點的\(Ti\)，那麼當進行\(up\)操做時，這棵樹的\(Ti\)會怎麼變化？測試幾組數據能夠知道，每次只有本來的最大值，與新的最大值路徑上的\(Ti\)會發生重編號，而這條鏈以外的節點的\(Ti\)相對大小沒有改變。
爲了操做方便咱們用編號最大的點做爲當前的根節點，考慮如何詢問。咱們定義\(mxp(v)\)爲\(v\)子樹中最大的點的編號，對於一個節點\(v\)和一個節點\(u\)，若是\(mxp(v) < mxp(u)\)，\(v\)必定先於\(u\)刪除，由於在刪除\(mxp(u)\)以前必定已經刪除了\(mxp(v)\)而刪除了\(mxp(v)\)以後必定會繼續刪除，直到刪除\(v\)。對於一個點\(u\)全部知足\(mxp(v) < mxp(u)\) 的\(v\) 必定先於他刪除。若是\(mxp(v) = mxp(u)\) ，出現這種狀況當且僅當\(u\)和\(v\)在一條指向根的路徑上，那麼因爲根節點的編號最大，咱們必定會先刪除深度比較深的點。因此形式化的答案是
\[ \sum_v [mxp(v) < mxp(u)] + \sum_v [mxp(v)=mxp(u)][dep[v] > dep[u]] = \\ \sum_v [mxp(v) \leq mxp(u)] - \sum_v [mxp(v)=mxp(u)][dep[v] < dep[u]] \]測試

如今整理一下，咱們要維護什麼：每一個點子樹中的最大編號，深度信息，編號小於\(v\)的點的數目，編號爲\(v\)的點中\(dep\)小於\(d\)的數目，要支持把編號最大點提到根的位置。spa

涉及到提根這個操做，因此想到使用\(LCT\)解決。每一個輔助樹的節點中除了常規的部分，維護\(mxp\)和子樹的大小\(sz\)，而同時由於\(LCT\)的性質，其中每一個\(splay\)中都是按照深度排序。再利用一個樹狀數組，維護編號小於\(v\)的點的數目。code

初始化部分，咱們\(dfs\)這棵樹，求出每一個點的父親，同時咱們將全部的點按照\(mxp\)連成一條條實鏈，順便計算\(sz\)，以及在樹狀數組中更新。htm

對於詢問操做\(when ~v\)，答案就是小於等於\(mxp(v)\)的\(mxp(u)\)的數量，減去深度小於\(v\)的\(mxp\)相同的點的數量。對於第一部分直接在樹狀數組中查詢，第二部分利用\(splay\)的按深度排序的性質，咱們\(splay(v)\)將\(v\)旋到根上，此時它的左子樹的\(sz\)就是咱們要的。

對於修改操做\(up ~v\)，咱們令原先最大的點爲\(u\), \(access(v)\) 同時將全部v到u路徑上的點的編號改成\(mxp(u)\)，把\(v\)旋到根，再翻轉這條鏈，此時\(v\)已是整顆樹的根了，可是此時的\(v\)的編號尚未修改，咱們把\(u\)和它的右兒子斷開從新給他打上新的標記便可。

這個過程當中要注意，打上標記後及時\(pushdown\)，子節點修改後，及時\(pushup\)。

ps: 這題從複習\(splay\)，學習\(LCT\)，到看懂題解花了3天時間。參考了不少ac代碼。。。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
typedef long long ll;
const int N = 200010;
template<class T> inline void read(T &x) {
    x = 0; char c = getchar(); T f = 1;
    while(!isdigit(c)) {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(isdigit(c)) {x = x * 10 + c - '0'; c = getchar();}
    x *= f;
}
using namespace std;
class BIT {
    int n, a[N << 1];
public :
    void init(int _) {
        n = _;
    }
    void add(int p, int val) {
        for(int i = p; i <= n; i += (i&(-i))) a[i] += val;
    }
    int ask(int p) { int ans = 0;
        for(int i = p; i; i -= (i&(-i))) ans += a[i];
        return ans;
    }
} B;
struct Node {
    int ch[2], fa, rev, sz, w, tag;
} T[N];
#define lc T[p].ch[0]
#define rc T[p].ch[1]
#define pa T[p].fa
inline int LR(int p) { return T[pa].ch[1] == p; }
inline int isR(int p) { return T[pa].ch[0] != p && T[pa].ch[1] != p; }
inline void PushUp(int p) { T[p].sz = T[lc].sz + T[rc].sz + 1; }
inline void Pushr(int p) { T[p].rev ^= 1; swap(lc, rc); }
inline void PushDown(int p) {
    if(T[p].rev) {
        if(lc) Pushr(lc);
        if(rc) Pushr(rc);
        T[p].rev = 0;
    }
    if(T[p].tag) {
        T[lc].tag = T[lc].w = T[p].tag;
        T[rc].tag = T[rc].w = T[p].tag;
        T[p].tag = 0;
    }
}
inline void rotate(int p) {
    int f=T[p].fa, g=T[f].fa, c=LR(p);
    if(!isR(f)) T[g].ch[LR(f)]=p; T[p].fa=g;
    T[f].ch[c] = T[p].ch[c^1]; T[T[f].ch[c]].fa=f;
    T[p].ch[c^1] = f; T[f].fa=p;
    PushUp(f); PushUp(p);
}
inline void splay(int p) {
    static int st[N];
    int y=p,z=0; st[++z]=y;
    while(!isR(y)) st[++z]=y=T[y].fa;
    while(z) PushDown(st[z--]);
    while(!isR(p)) {
        y=T[p].fa;z=T[y].fa;
        if(!isR(y)) rotate((T[y].ch[0]==p)^(T[z].ch[0]==y)?p:y);
        rotate(p);
    }
}
inline void access(int p, int ti) {
    for(int y = 0; p; p = T[y = p].fa) {
        splay(p); // splay 到頂
        T[p].ch[1] = 0; // 斷掉比他深的點
        PushUp(p); // **
        // update
        B.add(T[p].w, -T[p].sz);
        T[p].tag = T[p].w = ti;
        B.add(T[p].w, T[p].sz);
        T[p].ch[1] = y;// 右兒子接到上一層splay的根上
        PushUp(p); // **
    }
}

int n, q, u, v;
char opt[11];
vector<int> G[N];
void dfs(int u) {
    T[u].w = u;
    for(int v: G[u]) if(v != T[u].fa) {
        T[v].fa = u; dfs(v);
        T[u].w = max(T[u].w, T[v].w);
    }
    for(int v: G[u]) if(v != T[u].fa && T[u].w == T[v].w) {
        T[u].ch[1] = v;
        T[u].sz = T[v].sz + 1;
    }
    B.add(T[u].w, 1);
}
int qry(int p) {
    splay(p); PushDown(p);
    return B.ask(T[p].w) - T[lc].sz;
}

int main() {
#ifdef RRRR_wys
    freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
    read(n), read(q);
    B.init(n+q+2);
    for(int i = 2; i <= n; ++i)
        read(u), read(v), G[u].pb(v), G[v].pb(u);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) T[i].sz = 1;
    dfs(n); int TT = n;
    while(q--) {
        scanf(" %s",opt);
        if(opt[0] == 'u') {
            read(v);
            // MakeRoot
            access(v, TT); 
            splay(v);
            T[v].rev ^= 1; swap(T[v].ch[0], T[v].ch[1]);
            PushDown(v);
            // update
            B.add(T[v].w, -1); // ***
            T[v].ch[1] = 0; // 斷右兒子
            T[v].w = T[v].tag = ++ TT; // 從新標號
            T[v].sz = 1; // 計算sz
            B.add(T[v].w, 1);
        }
        else if(opt[0] == 'w') {
            read(v);
            printf("%d\n", qry(v));
        }
        else {
            read(u), read(v);
            printf("%d\n", (qry(u) < qry(v) ? u : v) );
        }
    }
}
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