淺談樹形結構的特性和應用（上）:多叉樹，紅黑樹，堆，Trie樹，B樹，B+樹...

上篇文章咱們主要介紹了線性數據結構，本篇233醬帶你們康康 無所不在的非線性數據結構之一：樹形結構的特色和應用。

樹形結構，是指：數據元素之間的關係像一顆樹的數據結構。咱們看圖說話：

它具備如下特色：

1. 每一個節點都只有有限個子節點或無子節點；
2. 沒有父節點的節點稱爲根節點；
3. 每個非根節點有且只有一個父節點；
4. 除了根節點外，每一個子節點能夠分爲多個不相交的子樹；
5. 樹裏面沒有環路(cycle)

維基百科中列舉了計算機科學中樹形結構的種類

233醬固然不會一個個講，咱們只挑一些熟悉的面孔：多叉樹，二叉樹，二叉查找樹，紅黑樹，堆，Trie樹，B樹，B+樹，LSM Tree，瞭解他們在對不一樣規模的數據 增，刪，改，查 時所起到的做用就夠了。

限於篇幅，本文主要介紹非LSM Tree的內容。

多叉樹

樹體現了一種 繼承 的關係，節點之間爲父子關係。多叉樹 是指一個父節點能夠有多個子節點。也就是：爸爸能夠有多個兒子，兒子只能有一個爸爸。

當須要這種分層，繼承的場景下都可以考慮用樹結構來實現，能夠簡化咱們對數據關係的描述。

此外，節點的每一個分支也表明着一種選擇，能夠用來作決策。

應用場景：
1.Linux文件系統
2.組織關係表示，如公司的組織架構，角色權限系統等。
3.XML/HTML數據。
4.類的繼承關係
5.決策，如遊戲中怪物使用的技能選擇，機器學習...

二叉樹

二叉樹（Binary tree）是每一個節點最多隻有兩個分支（即不存在分支度大於2的節點）的樹結構，也就是說 爸爸 最多隻能有 兩個兒子。

由於計算機應用中存在不少「非黑即白」的場景，一樣咱們能夠利用 不是走左分支，就是走右分支 這種結構選擇來作一些決策。
另外，利用每一個節點下參與方最多爲兩個，也能夠作一些事情。

應用場景：
1.編譯器的語法樹構造。
2.表達式求值和判斷：非葉子節點爲操做符，葉子節點爲數值。
3.Boolean求值，如 （a and b）or (c or d)。
4.霍夫曼編碼
5.IPv4路由表的存儲...

在咱們的平常開發中，常常須要對數據進行增刪改查，每個步驟的時間空間效率決定了應用最終的性能。

時間複雜度 體如今 可否快速定位到要操做的數據元素，核心在於 索引的好壞；

空間複雜度 體如今 可否佔用 更小的內存空間，可否利用計算機各層介質的緩存性能提升訪問速度（訪問速度：CPU>> 內存>>磁盤）。

在如下樹形結構的討論中，但願小夥伴能多從 索引，所佔用內存空間，操做的介質 這些方面考慮數據的增刪改查性能。

二叉查找樹

二叉查找樹（Binary Search Tree）首先是二叉樹，同時知足必定的有序性：節點的左子節點比本身小，節點的右子節點比本身大。

這樣當咱們定位一個元素的位置時，從根節點開始查找，小於節點左拐，大於節點右拐。等於節點排序值就恰好找到。二分的索引思想就體如今其中。

應用場景：
二叉查找樹的有序性是它可以普遍應用的緣由。可是可否高效二分體如今樹的高度合理性上。下面要講的 紅黑樹/堆結構纔是其普遍應用。

紅黑樹

二叉查找樹的缺點在於：只限制了節點的有序性，但有序樹的構造有好壞。一顆「壞」的有序樹直接會被拉成 「有序鏈表」。因此須要經過必定的條件保證樹的平衡性。

樹的平衡性是指整棵樹的最高子樹和最矮子樹相差不大，這樣整棵樹的高度相對來講低一些，相應的增，刪，改，查操做的效率較高較穩定（與樹高有關）。

紅黑樹（Red–black tree）是應用很普遍的一種平衡樹，是面試官的裝X利器。咱們來看一下它保證平衡性的一些特性：

1. 節點是紅色或黑色。
2. 根是黑色。
3. 全部葉子都是黑色（葉子是NIL節點）。
4. 每一個紅色節點必須有兩個黑色的子節點。（從每一個葉子到根的全部路徑上不能有兩個連續的紅色節點。）
5. 從任一節點到其每一個葉子的全部簡單路徑都包含相同數目的黑色節點。

這些約束確保了紅黑樹的關鍵特性：從根到葉子的最長路徑很少於最短路徑的兩倍長(根據性質4和性質5)。從而整棵樹的高度比較穩定，相應的增、刪、改、查操做的效率較高較穩定，而不一樣於普通的二叉查找樹。

此外相比其餘的平衡樹：如高度平衡樹AVL樹，紅黑樹的增刪改效率較高，同時查找性能沒有降低不少也比較穩定。因此工業級應用更爲普遍。

應用場景：適合排序，查找的場景。
1.容器的基本組成，如Java中的HashMap/TreeMap.
2.Linux內核的徹底公平調度器
3.Linux中epoll機制的實現...

堆

堆是一種特殊的數據結構，它知足兩個特性：

1. 堆是一個徹底二叉樹；
2. 堆中每個節點的排序值都必須大於等於（或小於等於）其左右子節點的排序值。

這裏解釋如下徹底二叉樹。它是指：除了最後一層，其餘層的節點個數都是滿的，最後一層的節點都靠左排列。

這樣咱們就能夠用數組來存儲。

假設根節點在i=0的位置：若是父節點的數組下標爲i，則左子節點的數組下標爲2 * i+1，右子節點的數組下標爲 2 * i + 2。數組比鏈表的存儲好處上篇文章233醬提過了，這裏就不贅述了。

針對第2點，若是每一個節點的值都大於等於子樹中每一個節點值的堆，叫作「大頂堆」。反之叫作「小頂堆」。

堆這種結構相對有序，且堆頂元素要麼最小，要麼最大。且利用了 數組和自身特性 增刪改查的時間複雜度較低。

應用場景：
1.堆排序
2.TopK,求中位數，求
3.合併多個有序小文件或集合
4.優先隊列，如定時任務的存儲等...

Trie樹

Trie樹 又稱前綴樹或字典樹，它是一種專門處理字符串匹配的數據結構，用來解決在一組字符串集合中快速查找某個字符串的問題。

它的特性爲：

1. 根節點不包含字符，除根節點外的每個子節點都包含一個字符。
2. 從根節點到某一節點，路徑上通過的字符鏈接起來，就是該節點對應的字符串。
3. 每一個字符串的公共前綴做爲一個字符節點保存。

若是咱們有and,as,at,cn,com這些關鍵詞，那麼構建的trie樹以下：

Trie 樹的本質，就是利用字符串之間的公共前綴，將重複的前綴合並在一塊兒。這樣當咱們查找某個字符串時，只須要在Trie樹上匹配字符串的每一個字符，比較次數僅和 字符串的長度 有關。

可是Trie 樹的缺點就是構造Trie樹須要很大的內存空間。由於父子字符節點之間用 指針關聯。若是用數組保存這些指針，這意味着子節點的數組須要窮舉出每一種可能。如子節點字符爲a-z，就須要分配長度爲26的數組來存儲這些可能的子節點。

改進內存分配的措施有：

1.子節點指針改成用：有序數組、跳錶、散列表、紅黑樹來存儲。
2.子節點合併，如原來 hello存儲爲：h->e->l->l->o ,如今可存儲爲：h->e->llo

Trie 樹畢竟比較浪費空間，因此它在字符串的查找中，適合用於：1.字符集不能太大 2.字符串的公共前綴較多 的場景。

應用場景：
1.關鍵詞匹配，提示，糾錯。
2.最長公共前綴匹配。
3.命令自動補全，如zsh.
4.網址瀏覽歷史記錄。
5.手機號碼簿查詢...

B樹、B+樹、LSM Tree是數據庫中常常出現的數據結構。對於數據庫的增刪改查效率，須要考慮的首要因素是：磁盤的IO訪問次數。

如何減小IO訪問次數？

前文咱們已經提到了索引，可是IO一次不容易，從磁盤中獲取數據一般是以塊爲單位的。若是對於上千萬條數據，咱們只創建一層索引結構的話，那索引的數據量也是巨大的。

如何下降索引量？

假設咱們到全世界找一我的，咱們是按照 國家/省/市/區/街道/小區的順序來定位。同理，隨着數據量的增大，咱們須要一層層的創建 多級索引 。越上層的索引每一個塊中表示的數據範圍越大。

如何保證咱們創建的多級索引 是「合適」的？

這個合適主要指：存儲的數據量大而且樹高小。同紅黑樹同樣，咱們須要一些 限制條件 來保證樹高。這也就是如下數據結構的限制條件緣由了。

B樹

一個m階（該樹每一個節點最多有 M 個子節點）的B樹具備如下特徵：

1.根節點至少有兩個子女。
2.每一箇中間節點都包含k-1個元素和k個孩子，其中 m/2 <= k <= m
3.每個葉子節點都包含k-1個元素，其中 m/2 <= k <= m
4.全部的葉子節點都位於同一層。
5.每一個節點中的元素從小到大排列，節點當中k-1個元素正好是k個孩子包含的元素的值域分劃。

一個3階的B樹插入示意圖以下：

應用場景：MongoDB

B+樹

一個m階的B+樹具備如下特徵：

1.有k個子樹的中間節點包含有k個元素（B樹中是k-1個元素），每一個元素不保存數據，只用來索引，全部數據都保存在葉子節點。
2.全部的葉子節點中包含了所有元素的信息，及指向含這些元素記錄的指針，且葉子節點自己依關鍵字的大小自小而大順序連接。
3.全部的中間節點元素都同時存在於子節點，在子節點元素中是最大（或最小）元素。

看不懂不要緊，咱們只須要知道這些限制條件是爲了讓B+樹數據「矮而胖」就好。

這裏我直接放張掘金小冊《從根兒上理解MYSQL》B+樹主鍵索引的示意圖：

應用場景
1.Mysql InnoDB存儲引擎。

看到這裏常考面試題來了：B樹和B+樹有什麼區別？爲何Mongo用B樹？爲何Mysql用B+樹？

B樹 vs B+樹

看圖說話，B樹 和 B+樹顯著不一樣的地方是：
1.B樹非葉子節點便是索引，也是數據；B+樹非葉子節點僅是索引，數據所有存儲在葉子節點。
2.B+樹葉子節點的數據之間是用鏈表連接的。
這會致使：

B+樹相比B樹：
1.數據的連續性：

• B+樹葉子節點上一頁存儲的數據是連續的，當須要一個結點上的數據時，B+樹能夠增大緩存的命中率。

2.葉子結點之間的鏈接性：

• 看成範圍或全文掃描時，B+樹能夠依賴葉子結點作線性順序掃描，而B樹只能在每一層的結點上作掃描。B+樹一樣能夠增大緩存的命中率。

B樹相比B+樹：
看成單一數據查詢時，B樹的結點平均離根結點更近，平均查詢效率比B+樹快。

總結一下：B+樹相比B樹，前者更適合範圍查詢，後者更適合單一數據查詢。

Mongo是非關係型數據庫，數據之間的關係用嵌套解決。它的主要使用場景是： 追求 單個讀寫記錄的性能。

Mysql是關係型數據庫，數據之間的關係用共同的索引鍵，Join解決。它的使用場景：不只存在大量的單一數據查詢，也存在大量的範圍查詢。

因此上面的問題能夠簡單扯一扯了吧。

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參考資料：
[1].維基百科
[2].https://www.youtube.com/watch?v=OJ5NYq1Eii8
[3].https://time.geekbang.org/column/article/72414
[4].https://towardsdatascience.com/8-useful-tree-data-structures-worth-knowing-8532c7231e8c
[5].https://draveness.me/whys-the-design-mongodb-b-tree/