圖的存儲方式：鄰接矩陣和鄰接表【基礎】

注：本文已遷移至CSDN，後續的更新也會在CSDN。

http://blog.csdn.net/houchaoqun_xmu/article/details/53813630

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【原】本文主要簡單介紹了「數據結構」中，圖的存儲方式，包括鄰接矩陣的存儲方式和鄰接表的存儲方式，並使用C++進一步實現。

-- 說明：本博文屬於基礎篇，適合於初學或者還沒有學且對數據結構感興趣的同窗，核心內容以下：

　　1. 圖的存儲結構理論簡介，以及建立圖的算法；

　　2. 無向鄰接矩陣的應用，主要介紹了經過文件流讀取城市路徑（旅行商問題）的相關數據，將值賦給圖的數據結構相關的成員；

　　3. 關於旅行商問題的數聽說明與處理；

-- 此外，在本文的基礎上，後續還會有6篇左右的文章基於圖的存儲結構，解決TSP旅行商問題，分別包括以下標題：

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（1）TSP_旅行商問題- 蠻力法( 深度遍歷優先算法DFS )
（2）TSP_旅行商問題- 動態規劃
（3）TSP_旅行商問題- 模擬退火算法
（4）TSP_旅行商問題- 遺傳算法
（5）TSP_旅行商問題- 粒子羣算法

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1、圖的存儲結構

1. 鄰接矩陣表示法 - 以無向圖爲例：

　　1）鄰接矩陣簡介

　　　　-- 邏輯結構分爲兩部分：Vexs[]（存儲頂點）和Arcs[][]（鄰接矩陣）集合。所以，用一個一維數組存放圖中全部頂點數據；用一個二維數組存放頂點間關係（邊或弧）的數據，這個二維數組稱爲鄰接矩陣。

　　　　-- 鄰接矩陣又分爲有向圖鄰接矩陣和無向圖鄰接矩陣，此處以無向圖爲例。

　　2）無向圖鄰接矩陣的特色：

　　　　-- 對無向圖而言，鄰接矩陣必定是對稱的，並且主對角線必定爲零（在此僅討論無向簡單圖），副對角線不必定爲0，有向圖則不必定如此；

　　　　-- 無向圖鄰接矩陣是一個對稱矩陣；

　　　　-- 頂點Vi的度等於第i行非零元個數，或第i列非零元個數；（有向圖沒有此特色）

　　　　

　　　　-- 矩陣非零元總數等於邊數的2倍；

　　　　-- 用鄰接矩陣表示圖，很容易肯定圖中任意兩個頂點是否有邊相連；

 　　3）完整的數據結構表示以下：

/* 1. 圖 - 鄰接矩陣表示法 */
/* ---------------------------------------------------------------- */
/* 較完善的數據結構 */
#define VRType int
#define InfoType int
#define VertexType char
#define max_n 20
typedef enum{DG, DN, AG, AN} GraphKind;

//  弧結點與矩陣的類型
typedef struct { 
    VRType    adj;          //VRType爲弧的類型。圖--0,1;網--權值
    InfoType  *Info;        //與弧相關的信息的指針,可省略
}ArcCell, AdjMatrix[max_n][max_n];

//  圖的類型
typedef struct{        
    VertexType vexs[max_n];     // 頂點向量
    AdjMatrix  arcs;            // 鄰接矩陣
    int        vexnum, arcnum;  // 頂點數，邊數
    GraphKind  kind;            // 圖類型
}MGraph;     
 
/* ---------------------------------------------------------------- */

　　4）【具體問題具體分析】根據」TSP「旅行商問題的需求，將該無向圖的鄰接矩陣簡化以下：

/* 簡化的數據結構 */

#define max_vexNum 26    // 最大城市個數
#define MAX_PATH_LENGTH 9999999
typedef struct{
    int vex_num, arc_num;                   // 頂點數 邊數
    char vexs[max_vexNum];                  // 頂點向量
    double arcs[max_vexNum][max_vexNum];    // 鄰接矩陣
}Graph;

　　5）基於鄰接矩陣建立圖 - CreateGraph()

1. 輸入圖的類型Kind，0--有向圖，2--無向圖;
2. 輸入頂點數G.vexnum和邊數G.arcnum;
3. 輸入n個頂點，填入頂點數組G.vexs；
4. 輸入邊的偶對(vi,vj)或<vi,vj>, 填寫鄰接矩陣G.arcs

　　6）無向圖的鄰接矩陣圖例

2. 鄰接表表示法 - 將每一個頂點的鄰接點串成一個單鏈表

 　　1）鄰接表的數據結構

#define  max_n   20            　　　　//最大頂點數
typedef struct ArcNode{        　　　　//邊結點
     int            adjvex;    　　　　//鄰接點的下標
     struct ArcNode    *nextarc;     //後繼鏈指針
}ArcNode;

typedef struct VNode{        　　　　//頂點結點
     VertexType       data;        //頂點數據           
     ArcNode           *firstarc;  //邊鏈頭指針
}VNode, AdjList[max_n];       

typedef struct{
     AdjList        vertices;       //鄰接表
     int        vexnum,arcnum;     //頂點數和邊數
     GraphType    kind；        　　//圖種類標誌
}ALGraph;

　　2）無向圖的鄰接表 - 實例：

　　3）基於鄰接表建立圖 - CreateGraph()

1. 輸入圖的類型Kind，0--有向圖，2--無向圖;
2. 輸入頂點數G.vexnum和邊數G.arcnum;
3. 輸入n個頂點，填入頂點數組G.vextices；
4. 輸入邊的偶對(vi,vj)或<vi,vj>, 用頭插法生成邊鏈

2、C++實現圖的鄰接矩陣表示法

1. 數據結構

/* 簡化的數據結構 */

#define max_vexNum 26    // 最大城市個數
#define MAX_PATH_LENGTH 9999999
typedef struct{
    int vex_num, arc_num;                  // 頂點數 邊數
    char vexs[max_vexNum];                 // 頂點向量
    double arcs[max_vexNum][max_vexNum];   // 鄰接矩陣
}Graph;

2. 文件讀取的方式，本程序採用文件流的方式進行數據的讀寫，相關代碼以下：

#include <fstream>

ifstream read_in;
read_in.open("L:\\Coding\\圖的常見操做\\圖的常見操做\\city_10.txt");
if (!read_in.is_open())
{
    cout<<"文件讀取失敗."<<endl;
    return;
}

3. TSP（旅行商問題）的實驗數據：文件名（ city_10.txt ）

10
A B C D E F G H I J 
0 2538.94 2873.8 2575.27 2318.1 2158.71 2216.58 3174.04 3371.13 3540.24 
2538.94 0 1073.54 111.288 266.835 395.032 410.118 637.942 853.554 1055 
2873.8 1073.54 0 964.495 988.636 1094.32 1382.73 1240.15 1460.25 1687 
2575.27 111.288 964.495 0 262.053 416.707 503.563 624.725 854.916 1068.42 
2318.1 266.835 988.636 262.053 0 163.355 395.14 885 1110.86 1318.19 
2158.71 395.032 1094.32 416.707 163.355 0 338.634 1030.34 1248.58 1447.69 
2216.58 410.118 1382.73 503.563 395.14 338.634 0 984.068 1160.26 1323.7 
3174.04 637.942 1240.15 624.725 885 1030.34 984.068 0 243.417 473.768 
3371.13 853.554 1460.25 854.916 1110.86 1248.58 1160.26 243.417 0 232.112 
3540.24 1055 1687 1068.42 1318.19 1447.69 1323.7 473.768 232.112 0 

4. 建立TSP城市的鄰接矩陣

void CreateGraph(Graph &G){
    ifstream read_in;
    read_in.open("L:\\Coding\\圖的常見操做\\圖的常見操做\\city_10.txt");
    if (!read_in.is_open())
    {
        cout<<"文件讀取失敗."<<endl;
        return;
    }
    
    read_in >> G.vex_num;
    // read_in >> G.arc_num;
    G.arc_num = 0;
    for (int i = 0;i < G.vex_num; i++)
    {
        read_in >> G.vexs[i];
    }
    G.vexs[G.vex_num] = '\0';    // char的結束符.

    for (int i = 0; i < G.vex_num;i++)
    {
        for (int j = 0; j < G.vex_num; j++)
        {
            read_in >> G.arcs[i][j];

            // calculate the arc_num
            if (G.arcs[i][j] > 0)
            {
                G.arc_num++;
            }
        }
    }

    // display
    cout<<"無向圖建立完畢，相關信息以下："<<endl;
    cout<<"【頂點數】 G.vex_num = "<<G.vex_num<<endl;
    cout<<"【邊數】 G.arc_num = "<<G.arc_num<<endl;
    cout<<"【頂點向量】 vexs[max_vexNum] = ";
    for (int i = 0; i < G.vex_num; i++)
    {
        cout<<G.vexs[i]<<" ";
    }
    cout<<endl<<"【鄰接矩陣】 arcs[max_vexNum][max_vexNum] 以下："<<endl;
    for (int i = 0; i < G.vex_num;i++)
    {
        for (int j = 0; j < G.vex_num; j++)
        {
            cout << std::right<<setw(10) << G.arcs[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
}

5. 實驗結果

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. 旅行商問題數據的說明與處理

　　1）旅行商問題的數聽說明：

　　　  -- 目前網上有不少我國城市相關的數據，以座標點的方式表示，而本程序以及後續的程序都是以鄰接矩陣的方式體現，因此如今須要將數據進行轉換。

　　　  -- 【城市數據】  參考網址：http://comopt.ifi.uni-heidelberg.de/software/TSPLIB95/tsp/

　　　  -- 【TSP最優解】參考網址：http://comopt.ifi.uni-heidelberg.de/software/TSPLIB95/STSP.html

 　　2）轉換程序以下：

// 城市數據格式轉化

#define MAX_CITYNUM 150
void CityDataTranslate(){
    ifstream read_in;
    read_in.open("L:\\Coding\\TSP_SA模擬退火算法\\TSP_SA模擬退火算法\\ch150.txt");        // 待轉換數據，數據可從上述連接【城市數據】下載
    if (!read_in.is_open())
    {
        cout<<"文件讀取失敗."<<endl;
        return;
    }

    ofstream fout("L:\\Coding\\TSP_SA模擬退火算法\\TSP_SA模擬退火算法\\city_150.txt");        // 轉換後的數據存入文檔 city_150.txt

    double city_table[MAX_CITYNUM][MAX_CITYNUM];
    int city_No[MAX_CITYNUM];
    double city_x[MAX_CITYNUM];
    double city_y[MAX_CITYNUM];

    int vex_num;
    read_in >> vex_num;
    fout << vex_num << endl;

    for (int i = 0; i < vex_num; i++)
    {
        read_in >> city_No[i] >> city_x[i] >> city_y[i];

        fout << i + 1 <<" ";
    }
    fout<<endl;

    for (int i = 0; i < vex_num; i++)
    {
        city_table[i][i] = 0;
        for (int j = 0; j < vex_num; j++)
        {
            double temp = (city_x[i] - city_x[j])*(city_x[i] - city_x[j]) + (city_y[i] - city_y[j])*(city_y[i] - city_y[j]);
            city_table[i][j] = sqrt(temp);
            fout << city_table[i][j]<<" ";
        }
        fout<<endl;
    }
}

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【注】博文由本文通過實踐進一步整理，若有問題，還望指出，本人會及時糾正！謝謝^^

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