圖的表示

1. 如何理解 「圖」

圖由頂點（vertex）和邊（edge）組成，頂點之間經過邊來創建一種聯繫。

生活中有不少符合圖結構的例子，好比社交網絡，就是一個很是典型的圖結構。在微信中，每一個用戶能夠看做是一個頂點，若是兩個用戶互爲好友，那就在這兩個頂點之間創建一條邊。一個用戶的好友數量，也就是和這個頂點相鏈接的邊的個數，稱爲這個頂點的度（degree）。

在微博中，還容許單向關注，也就是說用戶 A 關注了 B，但用戶 B 能夠不關注用戶 A。對此，咱們引入邊的 「方向」 這個概念。用戶 A 關注了用戶 B，咱們就用一條從 A 到 B 的帶箭頭的邊來表示。反之，用戶 B 關注了用戶 A，咱們就用一條從 B 到 A 的帶箭頭的邊來表示。這種有方向的圖稱爲 「有向圖」，反之則稱爲 「無向圖」。

在有向圖中，咱們將指向這個頂點的全部邊的數量叫做入度（In-degree），以這個頂點爲起點而指向其餘頂點的全部邊的數量叫做出度（Out-degree）。在微博中，入度就是粉絲數量，出度就是關注數量。

另外，在 QQ 中，兩個用戶之間的親密度則是經過帶權圖（weighted graph）來表示的。所謂帶權圖，就是每條邊都有一個權重，這個權重大小就能夠做爲兩個用戶之間的親密度的度量。

2. 鄰接矩陣存儲方法

圖最直觀的一種存儲方法，就是鄰接矩陣（Adjacency Matrix）。

鄰接矩陣其實就是一個二維數組。對於無向圖，若是頂點 i 和頂點 j 之間有邊，那麼 A[i][j] 和 A[j][i] 就等於 1。對於有向圖，若是邊從頂點 i 指向頂點 j ，那麼 A[i][j] 就等於 1，若是邊從頂點 j 指向頂點 i ，那麼 A[j][i] 就等於 1。而對於帶權圖，數組中存儲的就是對應邊的權重。

用鄰接矩陣來表示圖很是簡單、直觀，可是比較浪費內存空間。

對無向圖來講， A[i][j] 和 A[j][i] 始終是相同的，鄰接矩陣是一個對稱矩陣，只須要一半空間就能夠了。

另外，若是存儲的是稀疏圖（Sparse Graph），也就是頂點很是多，但每一個頂點的邊並很少，那鄰接矩陣就更加浪費空間了。好比，微信有幾億用戶，但每一個用戶的好友卻不會不少。

鄰接矩陣的優勢就是簡單、直接，由於是基於數組存儲，所以獲取兩個頂點的關係就很是高效。並且，將圖存儲爲鄰接矩陣，還能夠將不少圖的運算轉換爲矩陣之間的運算，計算很是方便。

3. 鄰接表存儲方法

因爲鄰接矩陣比較浪費內存，咱們提出了另外一種圖的存儲方法——鄰接表（Adjacency List）。

鄰接表有點相似於散列表，每一個頂點對應一個鏈表，鏈表中存儲的是與這個頂點相鏈接的其它頂點。

鄰接矩陣存儲起來比較浪費空間，可是使用起來比較節省時間；鄰接表雖然存儲起來比較節省空間，但使用起來就會比較耗時。好比，咱們要在鄰接表中查找兩個頂點之間是否有相鏈接的邊，就要去其中一個頂點對應的鏈表中查詢是否存在另外一個頂點。其實，一切都是以時間來換空間的。

此外，咱們還能夠對鏈表進行一些改進升級，好比替換成平衡二叉查找樹、跳錶、散列表或者是有序動態數組等，來快速查找兩個頂點之間是否存在邊。

4. 微信微博是怎麼存儲好友關係的？

微信是無向圖，微博是有向圖，但兩者的解決思路是差很少的，咱們拿微博來舉例說明。針對微博用戶，假設咱們須要支持如下這幾個操做：

• 判斷用戶 A 是否關注了用戶 B；
• 判斷用戶 A 是不是用戶 B 的粉絲；
• 用戶 A 關注用戶 B；
• 用戶 A 取消關注用戶 B；
• 根據用戶名稱的首字母排序，分頁獲取用戶的粉絲列表；
• 根據用戶名稱的首字母排序，分頁獲取用戶的關注列表；

由於社交網絡是一張稀疏圖，所以咱們選取鄰接表來存儲。可是鄰接表只能知道某一個用戶關注了哪些用戶，而不能知道哪些用戶關注了他。所以，咱們須要一個逆鄰接表來表示用戶的被關注狀況。逆鄰接表中，每一個頂點的鏈表存儲的是以哪一個頂點開始的邊指向了這個頂點。

基礎的鄰接表不適合快速判斷兩個用戶是不是關注與被關注的關係，咱們須要對鏈表進行改進。由於咱們須要按照用戶名稱的首字母排序，分頁獲取用戶的粉絲列表和關注列表，這時候，用跳錶這種結構就再合適不過了。跳錶插入、刪除、查找的時間複雜度都是 ，空間複雜度稍高，爲 ，可是跳錶中的數據原本就是有序的了，分頁獲取粉絲列表或者關注列表，就很是高效。

針對小規模的數據，咱們能夠將整個社交圖都存儲在內存中，但若是數據規模過大，像微博有上億的用戶，這時候就沒法所有存儲在內存中了。

針對這種狀況，咱們能夠經過哈希算法等數據分片方式，將鄰接表存儲在不一樣的機器上。當須要查找頂點之間關係的時候，就利用一樣的哈希算法，先定位頂點所在的機器，再去相應的機器上進行查找。

除此以外，咱們還能夠在外部存儲上創建數據庫，經過創建索引來高效地支持前面定義的操做。

參考資料-極客時間專欄《數據結構與算法之美》

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