計算1至n中數字X出現的次數

描述

計算 1 至 n 中數字 X 出現的次數，其中 n≥1,X∈[0,9]。

解題思路

這是一道比較簡單的題目，舉個例子先：假設 n=11,X=1，那麼就是求 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 這 11 個數字中 1 出現的次數，很容易能看出來結果爲 4，在 1 和 10 中各出現了一次，在 11 中出現了兩次。

最簡單的辦法就是依次遍歷 1 至 n，再分別求每一個數字中 X 出現的次數，代碼以下所示：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

#include <stdio.h>   // 計算數字 X 在 n 中出現的次數。 int  countOne(int  n,int  x) {     int  cnt = 0;     for  (;n > 0;n /= 10) {         if  (n % 10 == x) {             cnt++;         }     }     return  cnt; } // 計算數字 X 在 1-n 中出現的次數。 int  count(int  n,int  x) {     int  cnt = 0;     for  (int  i = 1;i <= n;i++) {         cnt += countOne(i, x);     }     return  cnt; } int  main() {     printf("%d\n", count(237, 1)); }

這個方法的缺點是時間複雜度過高，countOne 方法的時間複雜度是 O(log10n)，count 方法的時間複雜度是 O(nlog10n)。

一個更好的辦法是利用數學公式直接計算出最終的結果，該方法是依次求出數字 X 在個位、十位、百位等等出現的次數，再相加獲得最終結果。這裏的 X∈[1,9]，由於 X=0 不符合下列規律，須要單獨計算。

首先要知道如下的規律：

• 從 1 至 10，在它們的個位數中，任意的 X 都出現了 1 次。
• 從 1 至 100，在它們的十位數中，任意的 X 都出現了 10 次。
• 從 1 至 1000，在它們的千位數中，任意的 X 都出現了 100 次。

依此類推，從 1 至 10i，在它們的左數第二位（右數第 i 位）中，任意的 X 都出現了 10i−1 次。

這個規律很容易驗證，這裏再也不多作說明。

接下來以 n=2593,X=5 爲例來解釋如何獲得數學公式。從 1 至 2593 中，數字 5 總計出現了 813 次，其中有 259 次出如今個位，260 次出如今十位，294 次出如今百位，0 次出如今千位。

如今依次分析這些數據，首先是個位。從 1 至 2590 中，包含了 259 個 10，所以任意的 X 都出現了 259 次。最後剩餘的三個數 2591, 2592 和 2593，由於它們最大的個位數字 3 < X，所以不會包含任何 5。

而後是十位。從 1 至 2500 中，包含了 25 個 100，所以任意的 X 都出現了 25×10=250 次。剩下的數字是從 2501 至 2593，它們最大的十位數字 9 > X，所以會包含所有 10 個 5。最後總計 250 + 10 = 260。

接下來是百位。從 1 至 2000 中，包含了 2 個 1000，所以任意的 X 都出現了 2×100=200 次。剩下的數字是從 2001 至 2593，它們最大的百位數字 5 == X，這時狀況就略微複雜，它們的百位確定是包含 5 的，但不會包含所有 100 個。若是把百位是 5 的數字列出來，是從 2500 至 2593，數字的個數與百位和十位數字相關，是 93+1 = 94。最後總計 200 + 94 = 294。

最後是千位。如今已經沒有更高位，所以直接看最大的千位數字 2 < X，因此不會包含任何 5。到此爲止，已經計算出所有數字 5 的出現次數。

總結一下以上的算法，能夠看到，當計算右數第 i 位包含的 X 的個數時：

1. 取第 i 位左邊（高位）的數字，乘以 10i−1，獲得基礎值 a。
2. 取第 i 位數字，計算修正值：
   1. 若是大於 X，則結果爲 a+10i−1。
   2. 若是小於 X，則結果爲 a。
   3. 若是等 X，則取第 i 位右邊（低位）數字，設爲 b，最後結果爲 a+b+1。

相應的代碼很是簡單，效率也很是高，時間複雜度只有 O(log10n)。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

// 計算數字 X 在 1-n 中出現的次數。 int  count(int  n,int  x) {     int  cnt = 0, k;     for  (int  i = 1;k = n / i;i *= 10) {         // k / 10 爲高位的數字。         cnt += (k / 10) * i;         // 當前位的數字。         int  cur = k % 10;         if  (cur > x) {             cnt += i;         }else  if  (cur == x) {             // n - k * i 爲低位的數字。             cnt += n - k * i + 1;         }     }     return  cnt; }

當 X = 0 時，規律與上面給出的規律不一樣，須要另行考慮。

最主要的區別是，最高位中永遠是不會包含 0 的，所以，從個位累加到左起第二位就要結束，須要將上面代碼中 for 循環的判斷條件改成 k / 10 != 0。

其次是，第 i 位的基礎值不是高位數字乘以 10i−1，而是乘以 10i−1−1。以 1 至 102 爲例，千位中實際包含 3 個 0，但這三個 0 是來自於個位 2 計算獲得的修正值，而非來自於基礎值。千位的基礎值是 0，由於不存在數字 01, 02, 03, ..., 09，即數字前是沒有前導 0 的。解決辦法就是將上面代碼中第 6 行改成 cnt += (k / 10 - 1) * i。

通過綜合與化簡，獲得瞭如下代碼：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

// 計算數字 0 在 1-n 中出現的次數。 int  countZero(int  n) {     int  cnt = 0, k;     // k / 10 爲高位的數字。     for  (int  i = 1;(k = n / i) / 10;i *= 10) {         cnt += (k / 10) * i;         // k % 10 爲當前位的數字。         if  (k % 10 == 0) {             // n - k * i 爲低位的數字。             cnt += n - k * i + 1 - i;         }     }     return  cnt; }

主要是將一些步驟進行了合併，令代碼比較簡練。

將上面兩段代碼進行合併，能夠獲得如下代碼，對 X 從 0 到 9 都有效：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

// 計算數字 X 在 1-n 中出現的次數。 int  count(int  n,int  x) {     int  cnt = 0, k;     for  (int  i = 1;k = n / i;i *= 10) {         // 高位的數字。         int  high = k / 10;         if  (x == 0) {             if  (high) {                 high--;             }else  {                 break;             }         }         cnt += high * i;         // 當前位的數字。         int  cur = k % 10;         if  (cur > x) {             cnt += i;         }else  if  (cur == x) {             // n - k * i 爲低位的數字。             cnt += n - k * i + 1;         }     }