數據結構與算法學習(二)——Master公式及其應用

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1. Master公式是什麼？

咱們在解決算法問題時，常常會用到遞歸。遞歸在較難理解的同時，其算法的複雜度也不是很方便計算。而爲了較爲簡便地評估遞歸的算法複雜度，Master公式應運而生。下面給出Master公式的維基百科連接

1.1 Master公式

$T(N) = a*T(\frac{N}{b}) + O(N^d)$

• a：子問題被調用的次數
• $\frac{N}{b}$：子問題的規模
• N：母問題的規模
• d：額外操做的次數

1. 當$log_{b}a < d$時，$O(N^d)$；
2. 當$log_{b}a > d$時，$O(N^{log_{b}a})$；
3. 當$log_{b}a = d$時，$O(N^d*logN)$；

2. Master公式的應用舉例

使用遞歸求最大值

• 代碼

  public static int maxNum(int[] arr, int L, int R){
      if(L == R) {
          return arr[L];
      }
      int mid = L + ((R - L) >> 1);
      int lMax = maxNum(arr, L, mid);
      int rMax = maxNum(arr, mid + 1, R);
      return Math.max(lMax, rMax);
  }

• 解析：如上是求數組中的最大值的方法，將數組劃分紅左半部和右半部，求出左邊最大值，在求出右邊的最大值，最後比較左右的最大值，求出整個數組的最大值。由於將數組劃分爲左右兩部分，因此子問題的規模爲$\frac{N}{2}$，即b = 2，又有int lMax = maxNum(arr, L, mid)和int rMax = maxNum(arr, mid + 1, R)的兩次調用，因此a = 2，剩下來，有return arr[L]、int mid = L + ((R - L) >> 1)、return Math.max(lMax, rMax)三個常數級的操做，因此d = 0。

  將a,b,d代入，則其Master公式可表示爲：$T(N) = 2 * T(\frac{N}{2}) + O( 1 )$

  根據Master公式，$log_b{a} = log_2{2} = 1 > d = 0$，因此，複雜度爲$O(N^{log_ba}) = O(N)$

3. 注意事項

使用Master公式分析遞歸問題複雜度時，各子問題的規模應該是一致的，不然不能使用Master公式。

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