淺嘗紅黑樹

時間 2019-12-14

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目錄算法

紅黑樹的優點

一棵有n個內部結點的紅黑樹的高度最可能是2lg(n+1)
進行基本動態集合操做如查找、插入、刪除等的時間複雜度最壞爲O(log n)

紅黑樹的應用

C++的STL中的set和map
Linux的虛擬內存管理
關聯數組的實現
等等

五條紅黑性質

每一個結點不是紅就是黑（非紅即黑）
根結點是黑的（根黑）
每一個葉結點：指樹尾端NIL指針或NULL結點，是黑的（NIL/NULL黑）
若是一個結點是紅的，那麼它的倆個兒子都是黑的，即從每一個葉子到根的全部路徑上都不能有兩個連續的紅色結點（紅父黑孩）
對於任一結點而言，其到葉結點樹尾端NIL指針的每一條路徑都包含相同數目的黑結點（路徑黑同數）

樹的旋轉知識

左旋

當前結點的右孩子y成爲該孩子樹新的根，y的左孩子變爲當前結點的右孩子

左旋僞代碼：

Left-Rotate(T, x){
    y = x.right  //定義y是x的右孩子
    x.right = y.left  //y的左孩子成爲x的右孩子
    if(y.left != T.nil)  y.left.p = x //若是y左孩子不是nil
    y.p = x.p  //x結點成爲y的父結點
    if(x.p == T.nil)  T.root = y  //若是x是根結點,y成爲根結點
    else if(x == x.p.left)  x.p.left = y  //肯定y新成爲左孩子仍是右孩子
    else x.p.right = y
    y.left = x  //x成爲y的左孩子
    x.p = y
}

對左旋的理解

經過以上代碼，能夠看到被旋轉的結點會變成一個左結點，若是被旋轉結點的右孩子擁有左孩子，那就被繼承到被旋轉結點的右孩子那了

右旋

當前結點的左孩子y成爲該孩子樹新的根，y的右孩子變爲當前結點的左孩子

右旋僞代碼

Right-Rotate(T,x){
    y = x.left //定義y是x的左孩子
    x.left = y.right //y的右孩子成爲x的左孩子
    if(y.right != T.nil) y.left.p = x
    y.p = x.p //x結點成爲y的父結點
    if(x.p == T.nil) T.root = y //若是x是根結點，y成爲根結點
    else if(x == x.p.left) x.p.left = y //肯定y新成爲左孩子仍是右孩子
    else x.p.right = y
    y.right = x //x成爲y的左孩子
    x.p = y
}

對右旋的理解

經過以上代碼，能夠看到被旋轉的結點會變成一個右結點，若是被旋轉結點的左孩子擁有右孩子，那就被繼承到被旋轉結點的左孩子那了

紅黑樹的插入

插入僞代碼

RB-Insert(T,z){
    y = nil 
    x = T.root
    while(x != T.nil){
        y = x //找出z的父結點y的位置
        if(z.key < x.key) x = x.left
        else x = x.right
    }
    z.p = y
    if(y == nil[T]) T.root = z//判斷z要插入的位置
    else if(z.key < y.key) y.left = z
    else y.right = z
    z.left = T.nil
    z.right = T.nil
    z.color = RED
    RB-Insert_Fixup(T,z)
}

爲何插入的結點要染成紅色呢？

我想的是，無論是染成紅仍是黑，性質1,2,3都是知足的
試想咱們從頭構建一棵紅黑樹，當只有一個黑色的根結點的時候，若是染成黑色就不知足性質5了，推廣到新插入結點的父結點都是黑色的話，染成黑色一定是不知足性質5的了
而染成紅色能夠在一些狀況下少違背一條性質

插入修復僞代碼

RB-Insert-Fixup(T,z){
    while(z.p.color == RED){//全部修復狀況父結點都是紅色
        if(z.p == z.p.p.left){
            y = z.p.p.right
            if(y.color == RED){//狀況1：叔叔結點是紅色
                z.p.color = BLACK//父變黑
                y.color = BLACK//叔變黑
                z.p.p.color = RED//祖變紅
                z = z.p.p//將祖父當作新增結點z，z上移兩個指針且爲紅色
            }
            else {//叔叔結點是黑色
                if(z == z.p.right){//狀況2：當前結點是父結點的右子
                    z = z.p//父與子角色互換
                    Left-Rotate(T,z)//左旋
                }//狀況3：當前結點是父結點的左子
                z.p.color = BLACK//父變黑
                z.p.p.color = RED//祖變紅
                Right-Rotate(T,z.p.p)//祖右旋
            }
        }
        else{
            y = z.p.p.left
            if(y && y.color == RED){
                z.p.color = BLACK
                y.color = BLACK
                z.p.p.color = RED
                z = z.p.p
            }
            else{
                if(z == z.p.left){
                    z = z.p
                    Right-Rotate(T,z)
                }
                z.p.color = BLACK
                z.p.p.color = RED
                Left-Rotate(T,z.p.p)
            }
        }
    }
    T.root.color = BLACK//根確定是黑的
    return root
}

（特此說明：當前代指當前結點，父代指父結點，叔代指父的兄弟結點，祖代指祖父結點，數字1,2,3,4,5代指上述對應性質）數組

不用修復的狀況：

插入的是根結點

直接染黑當前

插入的結點的父結點是黑色

紅黑樹沒有被破壞，因此什麼也不用作。

插入修復狀況1

分析：父和叔都是紅
對策：父和叔染黑，祖染紅，祖爲新當前，重新當前從新分析執行

爲何這麼作？

當前與父都是紅，違背4，染黑父
染黑父以後，包含父的路徑違背5，染紅祖
染紅祖以後，包含叔的路徑違背5 ，染黑叔
祖不必定知足4，若祖爲根，染黑祖
若祖不爲根，設置祖爲當前，從新分析執行

插入修復狀況2

分析:父爲紅，叔爲黑，當前是右子
對策:父做新當前，新當前左旋

爲何這麼作？

父爲新當前，由於左旋能夠使兒子上移
左旋後，若兒子爲根，染黑；不爲根，從新分析父
爲什麼設置父爲新當前？處理須要從下到上，從葉到根處理
經過這麼作以後，某些狀況下便到達了狀況3的地步

插入修復狀況3

分析:父爲紅，叔爲黑，當前是左子
對策：父染黑，祖染紅，祖右旋

爲何這麼作？

當前和父爲紅，違背4，染黑父
染黑父，違背5，染紅祖，以祖旋轉

紅黑樹的刪除

刪除僞代碼

RB-Transplant(T,x,y){
    //找到安放y的位置
    //用y頂替x的位置
    if(x.p == T.nil) T.root = y
    else if(x == x.p.left) x.p.left = y
    else x.p.right = y
    y.p = x.p
}

RB-Delete(T,z){
    y = z //記錄要刪除結點的原信息
    y-origial-color = y.color
    if(z.left == T.nil){//被刪除結點只有一個孩子的狀況
        x = z.right
        RB-Transplant(T,z,z.right)
    }
    else if(z.right == T.nil){//被刪除結點只有一個孩子的狀況
        x = z.left
        RB-Transplant(T,z,z.left)
    }
    else{//y是z的後繼結點
        y = Tree-Minium(z.right) //這裏也能夠是Tree-Maxmun(z.left)，不過下面要修改
        y-origial-color = y.color
        x = y.right
        if(y.p == z) x.p = y//若是y是z的直系孩子，z右邊只有一個孩子的狀況，綁定x和y
        else{
            RB-Transplant(T,y,y.right)//用y.right頂替y的位置
            y.right = z.right//y接管z的右孩子
            y.right.p = y
        }
        RB-Transplant(T,z,y)//用y頂替z的位置
        y.left = z.left//y接管z的左孩子
        y.left.p = y
        y.color = z.color//y接管z的顏色
    }//若是y原來是黑色的，進行修復
    if(y-origial-color == BLACK) RB-Delete-Fixup(T,x)
}

刪除修復僞代碼

RB-Delete-Fixup(T,z){
    while(z != T.root && z.color == BLACK){//z一直往上移
        if(z == z.p.left){
            w = z.p.right//w是z的兄弟結點
            if(w.color == RED){//狀況1：w是紅色
                w.color = BLACK //兄變黑
                z.p.color = RED //父變紅
                Left-Rotate(T,z.p) //父左旋
                w = z.p.right //重置兄
            }
            if(w.left.color == BLACK && w.right.color == BLACK){//狀況2：兄和其兩孩子都是黑
                w.color = RED //兄變紅
                z = z.p //父爲新當前
            }
            else{
                if(w.right.color == BLACK){ //狀況3：兄的孩左紅右黑
                    w.left.color = BLACK //兄左孩變黑
                    w.color = RED //兄變紅
                    Right-Rotate(T,w) //兄右旋
                    w = z.p.right //重置兄
                } //狀況4：兄的孩左右皆紅
                w.color = z.p.color //兄顏色變爲父
                z.p.color = BLACK //父變黑
                w.right.color = BLACK //兄右孩變黑
                Left-Rotate(T,z.p) //父左旋
                z = T.root //當前爲根
            }
        }
        else{
            w = z.p.left//w是z的兄弟結點
            if(w.color == RED){//狀況1：w是紅色
            w.color = BLACK //兄變黑
            z.p.color = RED //父變紅
            Right-Rotate(T,z.p) //父右旋
            w = z.p.left //重置兄
            }
            if(w.right.color == BLACK && w.left.color == BLACK){//狀況2：兄和其兩孩子都是黑
                w.color = RED //兄變紅
                z = z.p //父爲新當前
            }
            else{
                if(w.left.color == BLACK){ //狀況3：兄的孩右紅左黑
                    w.right.color = BLACK //兄右孩變黑
                    w.color = RED //兄變紅
                    Left-Rotate(T,w) //兄左旋
                    w = z.p.left //重置兄
                } //狀況4：兄的孩左右皆紅
                w.color = z.p.color //兄顏色變爲父
                z.p.color = BLACK //父變黑
                w.left.color = BLACK //兄左孩變黑
                Right-Rotate(T,z.p) //父右旋
                z = T.root //當前爲根
            }
        }
    }
    z.color = BLACK
}