ZOJ 3537 Cake (凸包 + 區間DP && 最優三角形剖分)

題目連接：Here

題意：

給定 \(n\)​​ 個點的座標，先問這些點可否組成一個凸包，如是凸包，問用不相交的線來切這個凸包使得凸包只由三角形組成，根據 \(cost_{i, j} = |x_i + x_j| * |y_i + y_j| \% p\)​​​​算切線的費用，問最少的切割費用。

解題思路：參考於 ZeroClock，感謝！

經典的最優三角剖分模型加一點計算幾何的知識。

先判斷是否爲凸包，這個排個序就好弄，搬了一下凸包函數排序的板子。

返回凸包中的頂點數量再與 \(n\) 比較。

這一步處理完以後就是用 \(n-3\) 條直線將凸包切成 \(n-2\) 個三角形。

咱們要切的是以 \(1\) 和 \(n\) 爲起始點的凸包，因爲切線不能相交，那麼選擇 \(1\) 點和 \(n\) 點必有另一點 \(S\) 要和它們組成一個三角形，而後凸包被分紅三個部分: \(k_0,k_1,k_2\) ，而後把 \(k_1\) 當作一個以 \(n\) 點 \(S\) 點位起始點的凸包，是否是又能夠用相同的方法處理這個凸包呢？答案是確定，就是這樣慢慢地將凸包分紅一個個子凸包計算費用，最後再更新到點 \(1\) 和點 \(n\) 爲起始點的凸包。

模擬上面的過程，設 \(Dp[i][j]\)​​ 爲以 \(i\)​ 爲起點，\(j\)​ 爲終點的凸包被切割成一個個小三角形所須要的費用。

那麼 ​

\[dp[i][j] = min(dp[i][k]+dp[k][j]+cost[i][k]+cost[k][j]),(j >= i+ 3,i+1<=k<=j-1,cost[i][k] \]

爲連一條 \(i\) 到 \(k\) 的線的費用)，由於 \(dp[i][j]\) 只表示爲以 \(i\) 爲起點，\(j\) 爲終點的凸包內部被切割的費用，因此在連線的時候能夠加上邊界費用而不算重複計算。

const int N = 1e3 + 10, inf = 1e9;
struct Point {
    int x, y;
} p[N];
int cost[N][N], n, m;
int f[N][N];

int abs(int x) {return x < 0 ? -x : x;}
int xmul(Point p1, Point p2, Point p0) {
    return (p1.x - p0.x) * (p2.y - p0.y) - (p2.x - p0.x) * (p1.y - p0.y);
}
bool cmp(const Point &a, const Point &b) {
    if (a.y == b.y)return a.x < b.x;
    return a.y < b.y;
}

Point save[400], temp[400];
int Graham(Point *p, int n) {
    sort(p, p + n, cmp);
    save[0] = p[0];
    save[1] = p[1];
    int top = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        while (top && xmul(save[top], p[i], save[top - 1]) >= 0) top --;
        save[++top] = p[i];
    }
    int mid = top;
    for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
        while (top > mid && xmul(save[top], p[i], save[top - 1]) >= 0) top --;
        save[++top] = p[i];
    }
    return top;
}
int Count(Point a, Point b) {
    return (abs(a.x + b.x) * abs(a.y + b.y)) % m;
}
int main() {
    cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
    while (cin >> n >> m) {
        for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> p[i].x >> p[i].y;
        int tot = Graham(p, n); // 求凸包
        if (tot < n) {cout << "I can't cut.\n"; continue;}

        memset(cost, 0, sizeof(cost));
        // for (int i = 0; i < N; ++i) for (int j = 0; j < N; ++j)cost[i][j] = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            for (int j = i + 2; j < n; ++j) cost[j][i] = cost[i][j] = Count(save[i], save[j]);


        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) f[i][j] = inf;
            f[i][(i + 1) % n] = 0;
        }
        for (int i = n - 3; i >= 0; --i) // 注意三個for循環順序
            for (int j = i + 2; j < n; ++j) //由於要保證在算dp[i][j]時dp[i][k]和dp[k][j]時已經計算，因此i爲逆序，j要升序
                for (int k = i + 1; k <= j - 1; ++k)
                    f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j] + cost[i][k] + cost[k][j]);

        cout << f[0][n - 1] << "\n";
    }
}