中國剩餘定理詳解

引入

我國古代數學著做《孫子算經》中有一道題目，它的描述是這樣的

今有物不知其數，三三數之餘二；五五數之餘三；七七數之餘二。問物幾何？

這道題用現代數學理論來看，無非就是解一個方程

\begin{cases}x\equiv 2\left( mod\ 3\right) \\
x\equiv 3\left( mod\ 5\right) \\
x\equiv 2\left( mod\ 7\right) \end{cases}

那麼這個方程怎麼解呢？

這須要用到咱們祖先的偉大創造——中國剩餘定理

中國剩餘定理

在好久之前，數學領域尚未像擴展歐幾里得這種東西。對於這個問題，咱們祖先採用了構造的方法

構造過程以下

首先考慮三個特殊方程

\begin{cases}x\equiv 1\left( mod\ 3\right) \\
x\equiv 0\left( mod\ 5\right) \\
x\equiv 0\left( mod\ 7\right) \end{cases}

\begin{cases}x\equiv 0\left( mod\ 3\right) \\
x\equiv 1\left( mod\ 5\right) \\
x\equiv 0\left( mod\ 7\right) \end{cases}

\begin{cases}x\equiv 0\left( mod\ 3\right) \\
x\equiv 0\left( mod\ 5\right) \\
x\equiv 1\left( mod\ 7\right) \end{cases}

他們的特殊解

那第一個方程來講，它實際上等同於解一個同餘式

 $$35y\equiv 1\left( mod\ 3\right) $$

由於$x$必定是$5*7=35$的倍數

化簡一下當面的式子

$$2y\equiv 1\left( mod\ 3\right) $$

咱們不可貴出解$y=2$，此時$x=70$

同理，對於第二第三個式子咱們能夠運用相同的方法求解

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=70\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=21\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=15$$

那麼最終的答案爲

$$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+3\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

$$=2\times 70+3\times 21+2\times 15\equiv 23\left( mod\ 105\right)$$

咱們這樣就能夠求出解了。

可是這僅僅是三個式子的狀況，若是推廣到$r$個呢?

實際上是同樣的，都是利用構造的手段。

下面咱們來推廣一下。

設有$r$個同餘式，其中$m_i$兩兩互素，注意$m$必須兩兩互素，不然答案錯誤。其實不互素也能夠搞不過要用更神奇的東西

設$N=\prod ^{r}_{i=1}m_{i}$

對於同餘方程組

$$\begin{cases}x\equiv b_{1}\left( mod\ m_{1}\right) \\ x\equiv b_{2}\left( mod\ m_{2}\right) \\ \ldots \\ x\equiv br\left( mod\ m_r\right) \end{cases}$$

在模$N$同餘的意義下有惟一解

 

這個方程怎麼解呢？

咱們仍然像前面同樣，考慮構造

$$\begin{cases}x\equiv 0\left( mod\ m_{1}\right) \\ \ldots \\ x\equiv 0\left( mod\ m_{i-1}\right) \\ \ldots \\ x\equiv 1\left( mod\ m_{i}\right) \\ \ldots \\ x\equiv 0\left( mod\ m_{i+1}\right) \\ \ldots \\ x\equiv0\left( mod\ M_{r}\right) \end{cases}$$

像上面那樣，咱們令$x=(N/m_i)*y$

那麼咱們如今須要解出

$\left( N/m_{i}\right) y\equiv 1\left( mod\ m_{i}\right) $

這個東西怎麼搞呢？

聰明的你確定已經知道啦，這不就是個逆元嘛，想怎麼搞就怎麼搞

若是你不知道怎麼搞的話能夠看這裏

那麼方程的解爲$x_{0}=b_{1}x_{1}+b_{2}x_{2}+\ldots +b_{r}x_{r}\left( mod\ N\right)$

怎麼樣？似不似很簡單？

 

例題

有了上面的知識代碼應該不難寫

放一道水題

http://poj.org/problem?id=1006

題解（好久以前作的）