樹狀數組複習與整理

時間 2019-11-08

標籤樹狀數組複習整理简体版

原文原文鏈接

rt。而且用$\LaTeX$整理了公式。html

以前那篇很混亂並且咕咕咕到如今的隨筆：st表、樹狀數組與線段樹筆記與思路整理node

1、構成方式

樹狀數組是一種樹狀的結構（廢話），可是隻須要 $ O(n)$ 的空間複雜度。區間查詢和單一修改時間複雜度都爲 $O(log\ n)$ ，利用差分區間修改也能夠達到 $O(log\ n)$ ，但此時不能區間查詢。經過維護兩個數組能夠達到 $O(log\ n)$ 的區間修改與查詢。c++

樹狀數組是基於一棵二叉樹，爲便於思想上向數組轉化，這裏稍微變形：（Excel繪圖23333）算法

若是要在一棵樹上存儲一個數組而且便於求和，咱們能夠想到讓每一個父節點存儲其兩個子節點的和。~~（就決定是你啦！線段樹！）~~數組

爲了達到 $O(n)$ 的空間複雜度，刪去一些節點~~（放棄線段樹）~~後以下：優化

標有序號的節點爲樹狀數組，序號從左向右增大。spa

2、運算規律

觀察上一節的圖可得，每一個樹狀數組的節點都儲存了$2^k$個原數組節點的數據（$k$爲節點深度）。也就是說，在上面的圖中：code

t[1] = a[1];
t[2] = a[1] + a[2];
t[3] = a[3];
t[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4];
t[5] = a[5];
t[6] = a[5] + a[6];
t[7] = a[7];
t[8] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] + a[6] + a[7] + a[8];

因此說，這棵樹的~~（不是我本身推出來的）~~規律是：htm

\[t[i] = a[i - 2^k + 1] + a[i - 2^k + 2] + ... + a[i]\]blog

//$k$爲$i$的二進制中從最低位到高位連續零的長度

將$2^k$稱爲$lowbit(i)$，則代碼以下：

void add(int pos, int val){  //將節點pos增長val
    for(int i=pos; i<=n; i+=lowbit(i)){
        t[i] += val;
    }
}
int ask(int pos){  //求節點pos前綴和
    int ans = 0;
    for(int i=pos; i>0; i-=lowbit(i)){
        ans += t[i];
    }
    return ans;
}
int query_sum(int l, int r){  //利用前綴和求[l, r]總和
    return ask(r) - ask(l);
}

那麼問題來了，怎麼求這個 $2^k$ 呢？

有一個巧妙的~~（我本身也沒推出來的）~~算法是：

\[lowbit(x) = x \& (-x)\]

抄一段證實以下：

這裏利用的負數的存儲特性，負數是以補碼存儲的，對於整數運算 $x\&(-x)$有
● 當$x$爲$0$時，即 $0 \& 0$，結果爲$0$；//所以實際運算的時候若是真的出現了$lowbit(0)$會卡死，要從$1$開始存儲
●當$x$爲奇數時，最後一個比特位爲$1$，取反加$1$沒有進位，故$x$和$-x$除最後一位外前面的位正好相反，按位與結果爲$0$。結果爲$1$。
●當$x$爲偶數，且爲$2^m$時，$x$的二進制表示中只有一位是$1$（從右往左的第$m+1$位），其右邊有$m$位$0$，故$x$取反加$1$後，從右到左第有$m$個$0$，第$m+1$位及其左邊全是$1$。這樣，$x\& (-x)$ 獲得的就是$x$。
●當$x$爲偶數，卻不爲$2^m$的形式時，能夠寫做$x= y \times (2^k)$ 。其中，$y$的最低位爲$1$。實際上就是把$x$用一個奇數左移$k$位來表示。這時，$x$的二進制表示最右邊有$k$個$0$，從右往左第$k+1$位爲$1$。當對x取反時，最右邊的$k$位$0$變成$1$，第$k+1$位變爲$0$；再加$1$，最右邊的$k$位就又變成了$0$，第$k+1$位由於進位的關係變成了$1$。左邊的位由於沒有進位，正好和$x$原來對應的位上的值相反。兩者按位與，獲得：第$k+1$位上爲$1$，左邊右邊都爲$0$。結果爲$2^k$。
總結一下：$x\&(-x)$，當$x$爲$0$時結果爲$0$；$x$爲奇數時，結果爲$1$；$x$爲偶數時，結果爲$x$中$2$的最大次方的因子。

3、具體操做

1.區間查詢單點修改

如上文所說，使用循環維護一條樹上路徑便可。

模板題：洛谷 P3374

查看源碼

#include "bits/stdc++.h"
    using namespace std;
    int a[500010], t[500010];
    int n, m;
    int lowbit(int x){
        return x & (-x);
    }
    void add(int pos, int val){
        for(int i=pos; i<=n; i+=lowbit(i)){
            t[i] += val;
        }
    }
    int query_node(int pos){
        int ans = 0;
        for(int i=pos; i>0; i-=lowbit(i)){
            ans += t[i];
        }
        return ans;
    }
    int query_range(int l, int r){
        return query_node(r) - query_node(l-1);
    }
    int main(){
        cin >> n >> m;
        int opt, pos, l, r, num;
        for(int i=1; i<=n; i++){
            scanf("%d", &a[i]);
            add_node(i, a[i]);
        }
        while(m--){
            scanf("%d", &opt);
            if(opt == 1){
                scanf("%d%d", &pos, &num); 
                add_node(pos, num);
            }
            if(opt == 2){
                scanf("%d%d", &l, &r);
                printf("%d\n", query_range(l, r));
            }
        }
        return 0;
    }

2.單點查詢區間修改

利用差分的思想，設數組$b[i]=a[i]-a[i-1]$，用樹狀數組$t[~]$表示$b[~]$。(這裏默認$a[0]=b[0]=0$)

來一組樣例：

$a[~]=\{1,~5,~4,~2,~3,~1,~2,~5\}$

$b[\ ] = \{ 1,\ 4,\ -1,\ -2,\ 1,\ -2,\ 1,\ 3\}$

處理區間$[1,\ 5]$，將其中全部元素+1：

$a[~]=\{1,~{\color{red}{6,~5,~3,~4,~2,}}~2,~5\}$

$b[\ ] = \{ 1,\ {\color{red}5,}\ -1,\ -2,\ 1,\ -2,\ {\color{red}0,}\ 3 \}$

能夠看到，只有 $b[1]$ 和 $b[6]$ 發生了變化。（即更改區間$[l, r]$時的節點$l$與節點$r+1$）所以，以 $b[\ ]$ 爲原數組的 $t[\ ]$ 只須要執行兩次 $add()$ 便可。可是，在查詢 $a[i]$ 的時候就須要查詢 $b[1...i]$ 之和，在 $log\ n$ 時間裏只能查詢單個節點的值。

模板題：洛谷 P3368

查看源碼

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
int a[500010], t[500010];
int n, m;
int lowbit(int x){
    return x & (-x);
}
void add_node(int pos, int val){
    for(int i=pos; i<=n; i+=lowbit(i)){
        t[i] += val;
    }
}
void add_range(int l, int r, int val){
    add_node(l, val);
    add_node(r+1, -val);
}
int query_node(int pos){
    int ans = 0;
    for(int i=pos; i>0; i-=lowbit(i)){
        ans += t[i];
    }
    return ans;
}
int main(){
    cin >> n >> m;
    int opt, pos, l, r, num;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        scanf("%d", &a[i]);
        add_node(i, a[i] - a[i-1]);
    }
    while(m--){
        scanf("%d", &opt);
        if(opt == 1){
            scanf("%d%d%d", &l, &r, &num);
            add_range(l, r, num);
        }
        if(opt == 2){
            scanf("%d", &pos);
            printf("%d\n", query_node(pos));
        }
    }
    return 0;
}

3.區間查詢區間修改

關於區間查詢與區間修改的操做，考慮維護兩個樹狀數組來優化差分：

（本段參考了xenny的博客）

$\sum_{i=1}^{n}a[i] =\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^it[j]$

則
\[ \begin{align*}& a[1] + a[2] + ... + a[n]\\ = ~&(t[1]) + (t[1] + t[2]) + ... + (t[1] + t[2] + ... + t[n]) \\ = ~&n * t[1] + (n-1) * t[2] + ... + t[n]\\ =~& n * (t[1] + t[2] + ... + t[n]) - (0 * t[1] + 1 * t[2] + ... + (n - 1) * t[n])\end{align*} \]
因此上式能夠變爲$∑^n_{i = 1}a[i] = n∑^n_{i = 1}t[i] - ∑^n_{i = 1}( t[i] * (i - 1) )$

所以，實現了區間查詢與區間修改以後能夠實現線段樹的某些功能。但這種實現方式與線段樹還有所差別，詳情見下一節「優點與侷限」。

模板題：洛谷 P3372 （線段樹模板1）

查看源碼

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[500010], t1[500010], t2[500010];
int n, m;
int lowbit(int x){
    return x & (-x);
}
void add_node(int pos, ll val){
    for(int i=pos; i<=n; i+=lowbit(i)){
        t1[i] += val;
        t2[i] += val * (pos-1);
    }
}
void add_range(int l, int r, int val){
    add_node(l, val);
    add_node(r+1, -val);
}
ll quary_node(int pos){
    ll ans = 0;
    for(int i=pos; i>0; i-=lowbit(i)){
        ans += pos * t1[i] - t2[i];
    }
    return ans;
}
ll quary_range(int l, int r){
    return quary_node(r) - quary_node(l-1);
}
int main(){
    cin >> n >> m;
    int opt, pos, l, r;
    ll num;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        scanf("%d", &a[i]);
        add_node(i, a[i] - a[i-1]);
    }
    while(m--){
        scanf("%d", &opt);
        if(opt == 1){
            scanf("%d%d%lld", &l, &r, &num);
            add_range(l, r, num);
        }
        if(opt == 2){
            scanf("%d %d", &l, &r);
            printf("%lld\n", quary_range(l, r));
        }
    }
    return 0;
}