647. 迴文子串

題目來源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/palindromic-substrings python

題目

給定一個字符串，你的任務是計算這個字符串中有多少個迴文子串。算法

具備不一樣開始位置或結束位置的子串，即便是由相同的字符組成，也會被視做不一樣的子串。數組

示例 1：bash

輸入："abc"
輸出：3
解釋：三個迴文子串: "a", "b", "c"

示例 2：ui

輸入："aaa"
輸出：6
解釋：6個迴文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"

提示：.net

輸入的字符串長度不會超過 1000 。

解題思路

思路：動態規劃

先看題目，題目要求在給定的字符串中，求得字符串中有多少個迴文子串。其中說起，不一樣開始或結束位置的子串，即使相同也視爲不一樣子串。code

其實看完題目，咱們想到最直接的想法就是，先枚舉字符的組合，判斷這些字符組合成的子串是不是迴文串便可。blog

如今咱們來看看，用這種直接的方法代碼實現：leetcode

class Solution:
    def countSubstrings(self, s: str) -> int:
        def is_palindrome(string):
            """判斷傳入字符串是不是迴文串
            """
            left = 0
            right = len(string) - 1
            while left < right:
                if string[left] != string[right]:
                    return False
                left += 1
                right -= 1

            return True

        # 計數
        count = 0
        # 枚舉字符組合
        for i in range(len(s)):
            for j in range(i, len(s)):
                # 判斷字符組合是不是迴文串
                # 如果計數 +1，不然跳過
                sub_string = s[i:j+1]
                if is_palindrome(sub_string):
                    count += 1
        return count

上面的方法中，假設字符串長度爲 n，咱們枚舉全部子串須要 $O(n^2)$ 的時間，而判斷子串是否迴文串須要 $O(S)$ 的時間，S 是子串的長度，因此整個算法的時間是 $O(n^3)$。字符串

這裏用 Python 執行結果超時，也側面說明思路是可行的。這裏執行超時的緣由如上所述，是由於頻繁對字符串切片以及判斷子串是不是迴文串。

下面咱們看看使用動態規劃的思路如何解決。

動態規劃

假設，s[i...j](i...j 表示這個區間內的字符包含 i、j)是迴文串。那麼 s[i-1...j+1] 只有在 s[i-1] == s[j+1] 的狀況下，纔是迴文串。

狀態定義

如今設 dp[i][j] 表示 s[i...j] 是不是迴文串。

狀態轉移方程

接下來，咱們分析一下，子串是迴文串成立的狀況：

若是 i == j，那麼表示是單字符，單字符也是迴文串；
若是 s[i] == s[j] 且 i+1=j（或i=j-1），那麼這裏表示兩個字符且相同，那麼一樣是迴文串；
若是 dp[i+1][j-1] == True，也就是 s[i+1...j-1] 是迴文串時，若 s[i]==s[j]，此時 dp[i][j] 一樣也是迴文串。

咱們能夠看到，第2、三種狀況是能夠合併在一塊兒的。

當 s[i]==s[j]，只要 i==j-1 或者 dp[i+1][j-1]==True 其中一個成立，dp[i][j] 都爲 True，s[i...j] 是迴文串。公式以下：

$dp[i][j] = True, \qquad if , (s[i] == s[j]) , and , (i==j-1 , or , dp[i+1][j-1])$

再看第一種狀況，咱們發現，其實 i==j 時，s[i] == s[j] 也是成立的，只是此時 i=j-0，。

那麼這裏再將第一種狀況跟上面合併，也就是 i >= j - 1 或者 i - j >= -1 時，公式以下：

$dp[i][j] = True, \qquad if , (s[i] == s[j]) , and , (i-j>=-1 , or , dp[i+1][j-1])$

複雜度分析：

時間複雜度： $O(n^2)$
空間複雜度： $O(n^2)$， dp 數組的開銷。

還有 中心擴散法，這個方法可以將空間複雜度下降爲常數時間複雜度 $O(1)$。這裏在官方題解有給出詳細內容，有興趣的能夠從下面連接入口進入瞭解。

https://leetcode-cn.com/problems/palindromic-substrings/solution/hui-wen-zi-chuan-by-leetcode-solution/

具體的代碼實現以下。

代碼實現

class Solution:
    def countSubstrings(self, s: str) -> int:
        # 計數
        count = 0
        n = len(s)
        # 定義 dp 數組，初始化爲 False
        dp = [[False] * n for _ in range(n)]
        # 咱們從右往左遍歷，填充 dp 數組
        for i in range(n-1, -1, -1):
            for j in range(i, n):
                # 根據文章得出的狀態轉移方程
                if s[i]==s[j] and (i-j>=-1 or dp[i+1][j-1]):
                    dp[i][j] = True
                    count += 1

        return count

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