【模板】負環

【模板】負環

洛谷P3385 【模板】負環

模板題沒人發題解嘛？？大概是太簡單了dalao們不屑於發吧（大霧，輕噴）

前言

確實很模板，題意清晰明瞭，下面給出\(Bellman-Ford\)算法斷定負環和\(SPFA\)斷定負環這兩種作法的講解qwq

（爲了學好差分約束來的）

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\(SPFA\)斷定負環

• 設\(cnt[i]\)表示從\(1\)到\(i\)的最短路徑包含的邊數，\(cnt[1]=0\)

當執行更新\(dis[v]=dis[x]+e[i].val\)時，同時更新\(cnt[v]=cnt[x]+1\)

若發現\(cnt[v]≥n\)，則說明圖中又負環；若算法正常結束，則說明圖中沒有負環

• 設\(cnt[i]\)表示從\(1\)到\(i\)的最短路徑上每一個點入隊的次數，\(cnt[1]=0\)

當執行更新\(dis[v]=dis[x]+e[i].val\)時，同時更新\(cnt[v]++\)

若\(cnt[v]==n\)則說明有負環

• 關於這兩種方法的效率

《算法競賽進階指南》上說第一種方法比第二種方法高效：由於第一種方法只須要繞環一次就能發現負環，而斷定入隊次數的作法須要繞環\(n\)次

\(However\)，我針對於這兩種方法都交上去評測，結果大出意料：第二種方法成功AC，而後第一種方法只有\(10pts\)！（大概是我沒編對？若是您作出來可以AC，能否麻煩您貼一下代碼，謝謝啊qwq）

• 代碼\(Code\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
queue<int> q;
int T,n,m,u,v,w;
int tot,dis[60010],vis[60010],cnt[60010],head[60010];

struct node {
	int to,net,val;
} e[60010];

inline void add(int u,int v,int w) {
	e[++tot].to=v;
	e[tot].val=w;
	e[tot].net=head[u];
	head[u]=tot;
}

inline bool spfa() {
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		vis[i]=0;
		cnt[i]=0;
		dis[i]=20050206;
	}
	dis[1]=0;
	vis[1]=0;
	cnt[1]++;
	q.push(1);
	while(!q.empty()) {
		int x=q.front();
		q.pop();
		vis[x]=0;
		for(register int i=head[x];i;i=e[i].net) {
			int v=e[i].to;
			if(dis[v]>dis[x]+e[i].val) {
				if(cnt[v]>=n-1) return true;  //斷定入隊次數
				dis[v]=dis[x]+e[i].val;
				if(!vis[v]) {
                                        cnt[v]++;
					vis[v]=1;
					q.push(v);
				}
			}
		}
	}
	return false;
}

int main() {
	scanf("%d",&T);
	while(T--) {
		tot=0;
		for(register int i=1;i<=n;i++) {
			e[i].to=0;
			e[i].val=0;
			e[i].net=0;
			head[i]=0;
		}
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(register int i=1;i<=m;i++) {
			scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
			add(u,v,w);
			if(w>=0) add(v,u,w);
		}
		if(spfa()==false) puts("NO");
		else puts("YES");
	}
	return 0;
}

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\(Bellman-Ford\)斷定負環

• 如何斷定負環

若通過\(n\)輪迭代，算法仍未結束（仍有能產生更新的邊），則圖中存在負環

若\(n-1\)輪迭代以內，算法結束（全部邊都知足三角形不等式），則圖中無負環

• 本題注意

本題須要注意一點的是：題目要求找到一個 \(1\)能到達的負環

而輸入並不保證\(1\)必定與其餘點連通！即\(1\)多是一個「孤兒點」（#11就是一個例子QAQ）

• 代碼\(Code\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n,m,u,v,w,tot,flag,dis[600010];

struct node {
	int to,fro,val;
} e[600010];

inline void add(int u,int v,int w) {
	e[++tot].to=v;
	e[tot].fro=u;
	e[tot].val=w;
}

inline bool ford() {
	for(register int i=1;i<=n;i++) dis[i]=2005020600;
	dis[1]=0;
	for(register int i=1;i<n;i++) {
		for(register int j=1;j<=tot;j++) {
			if(dis[e[j].fro]+e[j].val<dis[e[j].to]) {
				dis[e[j].to]=dis[e[j].fro]+e[j].val;
			}
		}
	}
	for(register int i=1;i<=tot;i++) {
		if(dis[e[i].fro]+e[i].val<dis[e[i].to]) return true;
	}
	return false;
}

int main() {
	scanf("%d",&T);
	while(T--) {
		tot=0;flag=0;
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(register int i=1;i<=m;i++) {
			scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
			if(u==1||v==1) flag=1;
			add(u,v,w);
			if(w>=0) add(v,u,w);
		}
		if(flag==0) {
			puts("NO");
			continue;
		} 
		if(ford()==false) puts("NO");
		else puts("YES");
	}
	return 0;
}

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最後，若是您有任何不懂或這篇題解有任何不對的地方，歡迎評論區指出，我會及時回覆、改正，謝謝各位dalao閱讀qwq