玩CTF學密碼學4：

第一題：冪數加密

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第一題分析：

他說答案是八位的大寫字母，大寫字母要麼是ASCII表上的65-90，要麼就0-25（或1-26）也是能夠表示。可是既然說明是八位，那這個八位確定要體現出來，也就是說這個附件要可以搞出八個數碼來表明大寫字母。咱們先獲得這個字符串的長度：34，這不能被8整除，那是否有別的字符能標識8段呢？
因而我寫了這樣一個程序：

#include <iostream>
#include <map>
#include <string>
using namespace std;

int main()
{
	map<char, int> mp;
	string str = "8842101220480224404014224202480122";
	for (int i = 0; i < (int)str.length(); ++i)
		mp[str[i]]++;
	for (map<char, int>::iterator it = mp.begin(); mp.end() != it; ++it)
		cout << it->first << ' ' << it->second << endl;
	return 0;
}

結果以下：

首先咱們知道，要把一段序列分紅8段，就必須某個字符要出現7次，這裏出現7次的惟獨’0’這個字符，那咱們就不妨以0爲分界線來劃分出8個數字碼：

合起來就是：
WELLDONE（翻譯就是幹得漂亮？作得很好？）以爲還像那麼回事，因而提交！果真AC！

第二題：easy_RSA

下載附件：

說實話，我喜歡作這種題，由於我自己是作公鑰密碼學大類的（如今密碼學研究都是公鑰密碼甚至是同態密碼，前幾道對稱密碼我不太瞭解……）

講講RSA算法：

首先拿到素數p和q，而後計算n = p * q，phi(n) = (p - 1) * (q - 1)（歐拉函數，不曉得請自行了解），而後已知公鑰e = 17，能夠計算私鑰d = e^(-1) mod( phi(n) )
也就是說，公鑰和私鑰互爲逆元，這裏要咱們求私鑰d，至關於求逆元！如何求逆元？

求逆元的簡單方法：

能夠用快速冪求逆元，固然也能夠用拓展歐幾里得算法求逆元，咱們就講一種比較簡單的方法求逆元。已知逆元的定義：
a * b mod p = 1
咱們就說：a和b互爲模p意義下的逆元
由費馬小定理獲得：a^(p - 1) mod p = 1，那也就是說a * a^(p - 2) modp = 1，也就是說求a在模p意義下的逆元，就是求 a ^(p - 2)

可是這個方法的使用是有條件的！那就是p是素數，且a < p，而我們這個題，p是素數嗎？模數不是素數，其實在RSA算法中，模數都不會是素數，由於p和q是不相同的素數，素數惟一的偶數是2，而p和q之中至少有一個不是2，則是奇數，那麼p（或者q） - 1 就必定是偶數，偶數乘以任何數都是偶數，則必然模數不是質數！！

求逆元的通用方法：拓展歐幾里得算法

爲何能夠用擴展歐幾里得算法呢？
先來看一個方程：
ax + by = 1
若是兩邊同時對b取模，則：ax mod b = 1
那麼a和x就是模b意義下的逆元，而咱們告知a和b，求出x至關於求方程的解，由此能夠得出用拓展歐幾里得算法求逆元！

代碼以下：

#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;

void extendGcd(LL a, LL b, LL& x, LL& y)
{
	if (0 == b)
	{
		x = 1, y = 0;
		return;
	}
	extendGcd(b, a % b, x, y);
	LL Temp = x;
	x = y;
	y = Temp - (a / b) * y;
}

int main()
{
	LL p = 473398607161, q = 4511491, e = 17;
	LL phi = (p - 1) * (q - 1);
	LL x, y;
	extendGcd(e, phi, x, y);
	cout << x;
	return 0;
}

結果展現：

寫在後面：

擴展歐幾里得算法和費馬小定理求逆元，是兩種最多見的求逆元方法，此外還有篩法、遞推等等辦法，不過基本上，用拓展歐幾里得就差很少能夠搞定所有了！求逆元是數論、密碼學中常見的計算需求！