自由樹的計數 Labeled unrooted tree counting

問題：

      4個標記爲1,2,3,4的節點構成自由樹（算法導論裏的定義，鏈接着，無環，無向的圖），一共有多少種構造方法？若是N個節點呢？

 

解決方法：

     4個節點能夠經過窮舉的方式獲得答案，一共有16中方式。

　　第一類構造方式，取一個節點作中心，剩餘三個節點與其相連，一共4種（每一個節點作一次中心）。

　　第二類構造方式，四個節點連成一條線，能夠當作個排列，第一個有4種取法，第二個有3種，依次類推。可是由於例如1234與4321結構上是同樣的，

因此總的排列數除以2纔是總共的構造數，即 $\frac{4！}{2}$。（這個是基本的排列知識）

　　

              圖片來源

　　下面講解其中的一種Prufer Code 解法。

　　它的思想就是計數裏或者其餘場合常常出現的——一對一映射的方法。每一顆自由樹對應一個Prufer Code, 每個Prufer Code對應一顆自由樹。

這樣計算Prufer Code的個數就獲得了自由樹的個數。

　　先給出公式， 自由樹的總個數爲$T(N) = N^(N-2)$

 

　　參考資料

1. Prüfer_sequence

 

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