數據結構和算法面試題系列—遞歸算法總結

這個系列是我多年前找工做時對數據結構和算法總結，其中有基礎部分，也有各大公司的經典的面試題，最先發布在CSDN。現整理爲一個系列給須要的朋友參考，若有錯誤，歡迎指正。本系列完整代碼地址在 這裏。

注：此刻，我正在從廣州回家的綠皮火車上整理的這篇文章，火車搖搖晃晃，顛簸的滿是鄉愁，忍不住又想翻翻周雲蓬的《綠皮火車》了。———記於2018年9月30日夜22:00分。

0 概述

前面總結了隨機算法，此次再把之前寫的遞歸算法的文章梳理一下，這篇文章主要是受到宋勁鬆老師寫的《Linux C編程》的遞歸章節啓發寫的。最能體現算法精髓的非遞歸莫屬了，但願這篇文章對初學遞歸或者對遞歸有困惑的朋友們能有所幫助，若有錯誤，也懇請各路大牛指正。二叉樹的遞歸示例代碼請參見倉庫的 binary_tree 目錄，本文其餘代碼在 這裏。

1 遞歸算法初探

本段內容主要摘自《linux C一站式編程》，做者是宋勁鬆老師，這是我以爲目前看到的國內關於Linux C編程的最好的技術書籍之一，強烈推薦下！

關於遞歸的一個簡單例子是求整數階乘，n!=n*(n-1)!，0!=1 。則能夠寫出以下的遞歸程序：

int factorial(int n)
{
	if (n == 0)
		return 1;
	else {
		int recurse = factorial(n-1);
		int result = n * recurse;
		return result;
	}
}
複製代碼

factorial這個函數就是一個遞歸函數，它調用了它本身。本身直接或間接調用本身的函數稱爲遞歸函數。若是以爲迷惑，能夠把 factorial(n-1) 這一步當作是在調用另外一個函數－－另外一個有着相同函數名和相同代碼的函數，調用它就是跳到它的代碼裏執行，而後再返回 factorial(n-1) 這個調用的下一步繼續執行。

爲了證實遞歸算法的正確性，咱們能夠一步步跟進去看執行結果。記得剛學遞歸算法的時候，總是有丈二和尚摸不着頭腦的感受，那時候老是想着把遞歸一步步跟進去看執行結果。遞歸層次少還算好辦，可是層次一多，頭就大了，徹底不知道本身跟到了遞歸的哪一層。好比求階乘，若是隻是factorial(3)跟進去問題還不大，可是如果factorial(100)要跟進去那真的會煩死人。

事實上，咱們並非每一個函數都須要跟進去看執行結果的，好比咱們在本身的函數中調用printf函數時，並無鑽進去看它是怎麼打印的，由於咱們相信它能完成打印工做。 咱們在寫factorial函數時有以下代碼：

int recurse = factorial(n-1);
int result = n * recurse;
複製代碼

這時，若是咱們相信factorial是正確的，那麼傳遞參數爲n-1它就會返回(n-1)!，那麼result=n*(n-1)!=n!，從而這就是factorial(n)的結果。

固然這有點奇怪：咱們還沒寫完factorial這個函數，憑什麼要相信factorial(n-1)是正確的？若是你相信你正在寫的遞歸函數是正確的，並調用它，而後在此基礎上寫完這個遞歸函數，那麼它就會是正確的，從而值得你相信它正確。

這麼說仍是有點玄乎，咱們從數學上嚴格證實一下 factorial 函數的正確性。剛纔說了，factorial(n) 的正確性依賴於 factorial(n-1) 的正確性，只要後者正確，在後者的結果上乘個 n 返回這一步顯然也沒有疑問，那麼咱們的函數實現就是正確的。所以要證實factorial(n) 的正確性就是要證實 factorial(n-1) 的正確性，同理，要證實factorial(n-1) 的正確性就是要證實 factorial(n-2) 的正確性，依此類推下去，最後是：要證實 factorial(1) 的正確性就是要證實 factorial(0) 的正確性。而factorial(0) 的正確性不依賴於別的函數調用，它就是程序中的一個小的分支return 1; 這個 1 是咱們根據階乘的定義寫的，確定是正確的，所以 factorial(1) 的實現是正確的，所以 factorial(2) 也正確，依此類推，最後 factorial(n) 也是正確的。

其實這就是在中學時學的數學概括法，用數學概括法來證實只須要證實兩點：Base Case正確，遞推關係正確。寫遞歸函數時必定要記得寫Base Case，不然即便遞推關係正確，整個函數也不正確。若是 factorial 函數漏掉了Base Case，那麼會致使無限循環。

2 遞歸經典問題

從上一節的一個關於求階乘的簡單例子的論述，咱們能夠了解到遞歸算法的精髓：要從功能上理解函數，同時你要相信你正在寫的函數是正確的，在此基礎上調用它，那麼它就是正確的。 下面就從幾個常見的算法題來看看如何理解遞歸，這是個人一些理解，歡迎你們提出更好的方法。

2.1）漢諾塔問題

題： 漢諾塔問題是個常見問題，就是說有n個大小不等的盤子放在一個塔A上面，自底向上按照從大到小的順序排列。要求將全部n個盤子搬到另外一個塔C上面，能夠藉助一個塔B中轉，可是要知足任什麼時候刻大盤子不能放在小盤子上面。

解： 基本思想分三步，先把上面的 N-1 個盤子經 C 移到 B，而後將最底下的盤子移到 C，再將 B 上面的N-1個盤子經 A 移動到 C。總的時間複雜度 f(n)=2f(n-1)+1，因此 f(n)=2^n-1。

/**
 * 漢諾塔
 */
void hano(char a, char b, char c, int n) {
    if (n <= 0) return;

    hano(a, c, b, n-1);
    move(a, c);
    hano(b, a, c, n-1);
}

void move(char a, char b)
{
    printf("%c->%c\n", a, b);
}
複製代碼

2.2）求二叉樹的深度

這裏的深度指的是二叉樹從根結點到葉結點最大的高度，好比只有一個結點，則深度爲1，若是有N層，則高度爲N。

int depth(BTNode* root)  
{  
    if (root == NULL)  
        return 0;  
    else {  
        int lDepth = depth(root->left);  //獲取左子樹深度  
        int rDepth = depth(root->right); //獲取右子樹深度  
        return lDepth>rDepth? lDepth+1: rDepth+1; //取較大值+1即爲二叉樹深度  
    }  
}  
複製代碼

那麼如何從功能上理解 depth 函數呢？咱們能夠知道定義該函數的目的就是求二叉樹深度，也就是說咱們要是完成了函數 depth，那麼 depth(root) 就能正確返回以 root 爲根結點的二叉樹的深度。所以咱們的代碼中 depth(root->left) 返回左子樹的深度，而depth(root->right) 返回右子樹的深度。儘管這個時候咱們尚未寫完 depth 函數，可是咱們相信 depth 函數可以正確完成功能。所以咱們獲得了 lDepth 和rDepth，然後經過比較返回較大值加1爲二叉樹的深度。

若是很差理解，能夠想象在 depth 中調用的函數 depth(root->left) 爲另一個一樣名字完成相同功能的函數，這樣就好理解了。注意 Base Case，這裏就是當 root==NULL 時，則深度爲0，函數返回0。

2.3）判斷二叉樹是否平衡

一顆平衡的二叉樹是指其任意結點的左右子樹深度之差不大於1。判斷一棵二叉樹是不是平衡的，可使用遞歸算法來實現。

int isBalanceBTTop2Down(BTNode *root)
{
    if (!root) return 1;

    int leftHeight = btHeight(root->left);
    int rightHeight = btHeight(root->right);
    int hDiff = abs(leftHeight - rightHeight);

    if (hDiff > 1) return 0;

    return isBalanceBTTop2Down(root->left) && isBalanceBTTop2Down(root->right);
}
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該函數的功能定義是二叉樹 root 是平衡二叉樹，即它全部結點的左右子樹深度之差不大於1。首先判斷根結點是否知足條件，若是不知足，則直接返回 0。若是知足，則須要判斷左子樹和右子樹是否都是平衡二叉樹，若都是則返回1，不然0。

2.4）排列算法

排列算法也是遞歸的典範，記得當初第一次看時一層層跟代碼，頭都大了，如今從函數功能上來看確實好理解多了。先看代碼：

/**
 * 輸出全排列，k爲起始位置，n爲數組大小
 */
void permute(int a[], int k, int n)
{
    if (k == n-1) {
        printIntArray(a, n); // 輸出數組
    } else {
        int i;
        for (i = k; i < n; i++) {
            swapInt(a, i, k); // 交換
            permute(a, k+1, n); // 下一次排列
            swapInt(a, i, k); // 恢復原來的序列
        }
    }
}
複製代碼

首先明確的是 perm(a, k, n) 函數的功能:輸出數組 a 從位置 k 開始的全部排列，數組長度爲 n。這樣咱們在調用程序的時候，調用格式爲 perm(a, 0, n)，即輸出數組從位置 0 開始的全部排列，也就是該數組的全部排列。基礎條件是 k==n-1，此時已經到達最後一個元素，一次排列已經完成，直接輸出。不然，從位置k開始的每一個元素都與位置k的值交換(包括本身與本身交換)，而後進行下一次排列，排列完成後記得恢復原來的序列。

假定數組a aan na a =3，則程序調用 perm(a, 0, 3) 能夠以下理解： 第一次交換 0，0，並執行perm(a, 1, 3)，執行完再次交換0，0，數組此時又恢復成初始值。 第二次交換 1，0（注意數組此時是初始值），並執行perm(a, 1, 3), 執行完再次交換1，0，數組此時又恢復成初始值。 第三次交換 2，0，並執行perm(a, 1, 3)，執行完成後交換2，0，數組恢復成初始值。

也就是說，從功能上看，首先肯定第0個位置，而後調用perm(a, 1, 3)輸出從1開始的排列，這樣就能夠輸出全部排列。而第0個位置可能的值爲a[0], a[1],a[2]，這經過交換來保證第0個位置可能出現的值，記得每次交換後要恢復初始值。

如數組 a={1,2,3}，則程序運行輸出結果爲：1 2 3 ，1 3 2 ，2 1 3 ，2 3 1 ，3 2 1 ，3 1 2。即先輸出以1爲排列第一個值的排列，然後是2和3爲第一個值的排列。

2.5）組合算法

組合算法也能夠用遞歸實現，只是它的原理跟0-1揹包問題相似。即要麼選要麼不選，注意不能選重複的數。完整代碼以下：

/*
 * 組合主函數，包括選取1到n個數字
 */ 
void combination(int a[], int n)
{
    int *select = (int *)calloc(sizeof(int), n); // select爲輔助數組，用於存儲選取的數
    int k;
    for (k = 1; k <= n; k++) {
        combinationUtil(a, n, 0, k, select);
    }
}

/*
 * 組合工具函數：從數組a從位置i開始選取k個數
 */
void combinationUtil(int a[], int n, int i, int k, int *select)
{
    if (i > n) return; //位置超出數組範圍直接返回，不然非法訪問會出段錯誤

    if (k == 0) {  //選取完了，輸出選取的數字
        int j;
        for (j = 0; j < n; j++) {
            if (select[j])
                printf("%d ", a[j]);
        }
        printf("\n");
    } else {
        select[i] = 1;  
        combinationUtil(a, n, i+1, k-1, select); //第i個數字被選取，從後續i+1開始選取k-1個數
        select[i] = 0;
        combinationUtil(a, n, i+1, k, select); //第i個數字不選，則從後續i+1位置開始還要選取k個數
    }
}
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2.6) 逆序打印字符串

這個比較簡單，代碼以下：

void reversePrint(const char *str) 
{
    if (!*str)
        return;

    reversePrint(str + 1);
    putchar(*str);
}
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2.7) 鏈表逆序

鏈表逆序一般咱們會用迭代的方式實現，可是若是要顯得特立獨行一點，可使用遞歸，以下，代碼請見倉庫的 aslist 目錄。

/**
 * 鏈表逆序，遞歸實現。
 */
ListNode *listReverseRecursive(ListNode *head)
{
    if (!head || !head->next) {
        return head;
    }

    ListNode *reversedHead = listReverseRecursive(head->next);
    head->next->next = head;
    head->next = NULL;
    return reversedHead;
}
複製代碼

參考資料

• 宋勁鬆老師《Linux C編程》遞歸章節
• 數據結構與算法-C語言實現