數據結構 之 '樹'

一、樹

1.1 定義

樹（Tree）是n（n>=0)個結點的有限集。n=0時稱爲空樹。在任意一顆非空樹中：
1）有且僅有一個特定的稱爲根（Root）的結點；
2）當n>1時，其他結點可分爲m(m>0)個互不相交的有限集T一、T二、......、Tn，其中每個集合自己又是一棵樹，而且稱爲根的子樹。

此外，樹的定義還須要強調如下兩點：
1）n>0時根結點是惟一的，不可能存在多個根結點，數據結構中的樹只能有一個根結點。
2）m>0時，子樹的個數沒有限制，但它們必定是互不相交的。
示例樹：

圖1.1

由樹的定義能夠看出，樹的定義使用了遞歸的方式。遞歸在樹的學習過程當中起着重要做用，若是對於遞歸不是十分了解，建議先看看遞歸算法

1.2 結點的度

結點擁有的子樹數目稱爲結點的度。
圖1.2中標註了圖1.1所示樹的各個結點的度。

圖1.2 度示意圖

1.3 結點關係

結點子樹的根結點爲該結點的孩子結點。相應該結點稱爲孩子結點的雙親結點。
圖1.2中，A爲B的雙親結點，B爲A的孩子結點。
同一個雙親結點的孩子結點之間互稱兄弟結點。
圖1.2中，結點B與結點C互爲兄弟結點。

1.4 結點層次

從根開始定義起，根爲第一層，根的孩子爲第二層，以此類推。
圖1.3表示了圖1.1所示樹的層次關係

圖1.3 層示意圖

1.5 樹的深度

樹中結點的最大層次數稱爲樹的深度或高度。圖1.1所示樹的深度爲4。

二、 二叉樹

2.1 定義

二叉樹是n(n>=0)個結點的有限集合，該集合或者爲空集（稱爲空二叉樹），或者由一個根結點和兩棵互不相交的、分別稱爲根結點的左子樹和右子樹組成。
圖2.1展現了一棵普通二叉樹：

圖2.1 二叉樹

2.2 二叉樹特色

由二叉樹定義以及圖示分析得出二叉樹有如下特色：
1）每一個結點最多有兩顆子樹，因此二叉樹中不存在度大於2的結點。
2）左子樹和右子樹是有順序的，次序不能任意顛倒。
3）即便樹中某結點只有一棵子樹，也要區分它是左子樹仍是右子樹。

2.3 二叉樹性質

1）在二叉樹的第i層上最多有2i-1 個節點 。（i>=1）
2）二叉樹中若是深度爲k,那麼最多有2k-1個節點。(k>=1）
3）n0=n2+1 n0表示度數爲0的節點數，n2表示度數爲2的節點數。
4）在徹底二叉樹中，具備n個節點的徹底二叉樹的深度爲[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。
5）若對含 n 個結點的徹底二叉樹從上到下且從左至右進行 1 至 n 的編號，則對徹底二叉樹中任意一個編號爲 i 的結點有以下特性：

(1) 若 i=1，則該結點是二叉樹的根，無雙親, 不然，編號爲 [i/2] 的結點爲其雙親結點;
(2) 若 2i>n，則該結點無左孩子， 不然，編號爲 2i 的結點爲其左孩子結點；
(3) 若 2i+1>n，則該結點無右孩子結點， 不然，編號爲2i+1 的結點爲其右孩子結點。

2.4 斜樹

斜樹：全部的結點都只有左子樹的二叉樹叫左斜樹。全部結點都是隻有右子樹的二叉樹叫右斜樹。這二者統稱爲斜樹。

圖2.2 左斜樹

圖2.3 右斜樹

2.5 滿二叉樹

滿二叉樹：在一棵二叉樹中。若是全部分支結點都存在左子樹和右子樹，而且全部葉子都在同一層上，這樣的二叉樹稱爲滿二叉樹。
滿二叉樹的特色有：
1）葉子只能出如今最下一層。出如今其它層就不可能達成平衡。
2）非葉子結點的度必定是2。
3）在一樣深度的二叉樹中，滿二叉樹的結點個數最多，葉子數最多。

圖2.4 滿二叉樹

2.6 徹底二叉樹

徹底二叉樹：對一顆具備n個結點的二叉樹按層編號，若是編號爲i(1<=i<=n)的結點與一樣深度的滿二叉樹中編號爲i的結點在二叉樹中位置徹底相同，則這棵二叉樹稱爲徹底二叉樹。
圖2.5展現一棵徹底二叉樹

圖2.5 徹底二叉樹

特色：
1）葉子結點只能出如今最下層和次下層。
2）最下層的葉子結點集中在樹的左部。
3）倒數第二層若存在葉子結點，必定在右部連續位置。
4）若是結點度爲1，則該結點只有左孩子，即沒有右子樹。
5）一樣結點數目的二叉樹，徹底二叉樹深度最小。
注：滿二叉樹必定是徹底二叉樹，但反過來不必定成立。

2.7 二叉樹的存儲結構

2.7.1 順序存儲

二叉樹的順序存儲結構就是使用一維數組存儲二叉樹中的結點，而且結點的存儲位置，就是數組的下標索引。

圖2.6

圖2.6所示的一棵徹底二叉樹採用順序存儲方式，如圖2.7表示：

圖2.7 順序存儲

由圖2.7能夠看出，當二叉樹爲徹底二叉樹時，結點數恰好填滿數組

三、Python實現二叉樹的深廣度遍歷

---

class Node(object):
    """
    封裝節點
    """
    def __init__(self, item):
        # 根節點
        self.item = item
        # 左葉子節點
        self.left = None
        # 右葉子節點
        self.right = None


class Tree(object):
    def __init__(self):
        """
        初始化一個空樹
        """
        self.root = None

    def addNode(self, item):
        """
        添加節點
        :param item:
        :return:
        """
        node = Node(item)
        if self.root == None:
            self.root = node
            return
        cur = self.root
        q_list = [cur]

        while True:
            first_item = q_list.pop(0)
            if first_item.left != None:
                q_list.append(first_item.left)
            else:
                first_item.left = node
                break

            if first_item.right != None:
                q_list.append(first_item.right)
            else:
                first_item.right = node
                break

    def travel(self):
        """
        廣度遍歷
        :return:
        """
        cur = self.root
        q_list = [cur]
        while q_list:
            first_item = q_list.pop(0)
            print(first_item.item)
            if first_item.left != None:
                q_list.append(first_item.left)

            if first_item.right != None:
                q_list.append(first_item.right)

    def forward(self, root):
        """
        深度遍歷（前序遍歷 —— 根左右）
        :param root: 子樹的根節點
        :return:
        """
        if root == None:
            return
        print(root.item)
        self.forward(root.left)
        self.forward(root.right)

    def middle(self, root):
        """
        深度遍歷（中序遍歷 —— 左根右）
        :param root: 子樹的根節點
        :return:
        """
        if root == None:
            return
        self.middle(root.left)
        print(root.item)
        self.middle(root.right)

    def back(self, root):
        """
        深度遍歷（後序遍歷 —— 左右根）
        :param root: 子樹的根節點
        :return:
        """
        if root == None:
            return
        self.back(root.left)
        self.back(root.right)
        print(root.item)


if __name__ == '__main__':
    tree = Tree()
    for i in range(1, 16):
        tree.addNode(i)

    # tree.travel()

    # tree.forward(tree.root)
    # tree.middle(tree.root)
    # tree.back(tree.root)

四、排序二叉樹

具備下列性質的二叉樹：

（1）若左子樹不空，則左子樹上全部結點的值均小於它的根結點的值；

（2）若右子樹不空，則右子樹上全部結點的值均大於它的根結點的值；

（3）左、右子樹也分別爲二叉排序樹；

（4）沒有鍵值相等的結點。

中序遍歷做用在排序二叉樹中，遍歷的結果爲有序！

class Node(object):
    def __init__(self, item):
        self.item = item
        self.left = None
        self.right = None


class SortTree(object):
    def __init__(self):
        self.root = None

    def add(self, item):
        node = Node(item)
        if self.root == None:
            self.root = node
            return

        cur = self.root
        while True:
            if cur.item < item:
                if cur.right == None:
                    cur.right = node
                    break
                else:
                    cur = cur.right

            else:
                if cur.left == None:
                    cur.left = node
                    break
                else:
                    cur = cur.left

    def middle(self, root):
        if root == None:
            return
        self.middle(root.left)
        print(root.item)
        self.middle(root.right)


if __name__ == '__main__':
    tree = SortTree()
    for i in [2, 5, 7, 1, 3, 8, 4, 10]:
        tree.add(i)

    tree.middle(tree.root)
    
    
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