斐波那契查找算法（黃金分割查找算法）

什麼是斐波那契查找

      斐波那契數列，又稱黃金分割數列，指的是這樣一個數列：一、一、二、三、五、八、1三、2一、····，在數學上，斐波那契被遞歸方法以下定義：F(1)=1，F(2)=1，F(n)=f(n-1)+F(n-2) （n>=2）。該數列越日後相鄰的兩個數的比值越趨向於黃金比例值（0.618）。

     斐波那契查找就是在二分查找的基礎上根據斐波那契數列進行分割的。在斐波那契數列找一個等於略大於查找表中元素個數的數F[n]，將原查找表擴展爲長度爲F[n](若是要補充元素，則補充重複最後一個元素，直到知足F[n]個元素)，完成後進行斐波那契分割，即F[n]個元素分割爲前半部分F[n-1]個元素，後半部分F[n-2]個元素，找出要查找的元素在那一部分並遞歸，直到找到。

斐波那契查找的時間複雜度仍是O(log 2 n )，可是 與折半查找相比，斐波那契查找的優勢是它只涉及加法和減法運算，而不用除法，而除法比加減法要佔用更多的時間，所以，斐波那契查找的運行時間理論上比折半查找小，可是仍是得視具體狀況而定。

對於斐波那契數列：一、一、二、三、五、八、1三、2一、3四、5五、89……（也能夠從0開始），先後兩個數字的比值隨着數列的增長，愈來愈接近黃金比值0.618。好比這裏的89，把它想象成整個有序表的元素個數，而89是由前面的兩個斐波那契數34和55相加以後的和，也就是說把元素個數爲89的有序表分紅由前55個數據元素組成的前半段和由後34個數據元素組成的後半段，那麼前半段元素個數和整個有序表長度的比值就接近黃金比值0.618，假如要查找的元素在前半段，那麼繼續按照斐波那契數列來看，55 = 34 + 21，因此繼續把前半段分紅前34個數據元素的前半段和後21個元素的後半段，繼續查找，如此反覆，直到查找成功或失敗，這樣就把斐波那契數列應用到查找算法中了。

從圖中能夠看出，當有序表的元素個數不是斐波那契數列中的某個數字時，須要把有序表的元素個數長度補齊，讓它成爲斐波那契數列中的一個數值，固然把原有序表截斷確定是不可能的，否則還怎麼查找。而後圖中標識每次取斐波那契數列中的某個值時(F[k])，都會進行-1操做，這是由於有序表數組位序從0開始的，純粹是爲了迎合位序從0開始。因此用迭代實現斐波那契查找算法以下：

 1 #include <stdio.h>  
 2   
 3 #define FIB_MAXSIZE 100  
 4   
 5 /** 
 6  * 生成斐波那契數列 
 7  * @param fib：指向存儲斐波那契數列的數組的指針 
 8  * @param size：斐波那契數列長度 
 9  */  
10 void ProduceFib(int *fib, int size)  
11 {  
12     int i;  
13   
14     fib[0] = 1;  
15     fib[1] = 1;  
16   
17     for (i = 2; i < size; i++)  
18     {  
19         fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];  
20     }  
21 }  
22   
23 /** 
24  * 斐波那契查找，查找成功返回位序，不然返回-1 
25  * @param data：有序表數組 
26  * @param length：有序表元素個數 
27  * @param searchValue：待查找關鍵字 
28  */  
29 int FibonacciSearch(int *data, int length, int searchValue)  
30 {  
31     int low, high, mid, k, i, fib[FIB_MAXSIZE];  
32   
33     low = 0;  
34     high = length - 1;  
35   
36     ProduceFib(fib, FIB_MAXSIZE);  
37   
38     k = 0;  
39     // 找到有序表元素個數在斐波那契數列中最接近的最大數列值  
40     while (high > fib[k] - 1)  
41     {  
42         k++;  
43     }  
44   
45     // 補齊有序表  
46     for (i = length; i <= fib[k] - 1; i++)  
47     {  
48         data[i] = data[high];  
49     }  
50   
51     while (low <= high)  
52     {  
53         mid = low + fib[k - 1] - 1;   // 根據斐波那契數列進行黃金分割  
54   
55         if (data[mid] == searchValue)  
56         {  
57             if (mid <= length - 1)  
58             {  
59                 return mid;  
60             }  
61             else  
62             {  
63                 // 說明查找獲得的數據元素是補全值  
64                 return length - 1;  
65             }  
66         }  
67   
68         if (data[mid] > searchValue)  
69         {  
70             high = mid - 1;  
71             k = k - 1;  
72         }  
73   
74         if (data[mid] < searchValue)  
75         {  
76             low = mid + 1;  
77             k = k - 2;  
78         }  
79     }  
80   
81     return -1;  
82 }  
83   
84 int main()  
85 {  
86     int data[] = {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21};  
87   
88     int index = FibonacciSearch(data, 11, 19);  
89     printf("%d\n", index);  
90   
91     return 0;  
92 }  

斐波那契查找的時間複雜度仍是O(log2n)，可是與折半查找相比，斐波那契查找的優勢是它只涉及加法和減法運算，而不用除法，而除法比加減法要佔用更多的時間，所以，斐波那契查找的運行時間理論上比折半查找小，可是仍是得視具體狀況而定