不會編程的程序員不用懂遞歸

文 | 太陽雪

來源：Python 技術「ID: pythonall」

編程之因此魅力無比，其中一個重要的緣由是，一次寫入，屢次運行，你可能和我同樣想象過這樣的場景：半躺在椅子上，優雅的點擊一個按鈕，新的宇宙啓動了……

不要以爲這是個幻想，也別隻將其停留在幻想之中，這個幻想說明了一個問題，程序能夠幫助咱們完成更多的事情，而起始點無比的簡單，今天咱們一塊兒聊聊遞歸的事情，也許它就是啓動宇宙的那個小小按鈕

關於遞歸

一種計算過程，若是其中每一步都要用到前一步或前幾步的結果，稱爲遞歸的。用遞歸過程定義的函數，稱爲遞歸函數，例如連加、連乘及階乘等。凡是遞歸的函數，都是可計算的，便可行的。

古典遞歸函數，是一種定義在天然數集合上的函數，它的未知值每每要經過有限次運算迴歸到已知值來求出，故稱爲「遞歸」。它是古典遞歸函數論的研究對象

遞歸的應用場景

遞歸做爲一種算法思想，應用的場景不少，例如著名的漢諾塔問題，即有三個柱子，最左邊的上面從小到大串着必定數量的盤子，如今須要將它們移動到最右邊的柱子上，原則是移動過程當中，以及最終的結果，必須保存小盤子在大盤子上面

漢諾塔

還有斐波那契數列，即除了第一個和第二個數爲1，其他的數都是前兩個數之和，例如 1，1，2，3，5，8……，還有階乘算法，即，正整數列中，個數爲 n 的數相乘，等等舉不勝舉

在計算機算法中遞歸更經常使用，例如二分法查找，快速排序，樹的遍歷，即對於執行規模不肯定，但能拆解爲簡單步驟的算法，遞歸幾乎都有用武之地，不但能夠解決問題，並且語義也更清晰

平常應用中，遞歸也很廣泛，例如遍歷文件夾查找文件，處理 XML 文件，再例如 應收帳款和收款的匹配，還有最近我 在 TMS 項目遇到的處理箱單層層包裹的關係問題，等等舉不勝舉

遞歸與其說是一種編程語言的能力，不如說是一種分析和思考問題的能力，從問題中發現規律，將大問題轉換爲小問題，知道能夠簡單計算爲止，或者正向思考，前面步驟是後面步驟的計算條件，不斷的計算前面的結果，最終獲得預訂步驟的結果。

遞歸的特色

既然遞歸如此好，有沒有限制呢？固然有，任何事物都具備兩面性，解決問題時要揚長避短

優勢

1. 讓代碼更簡潔，邏輯更清晰，代碼量更少
2. 爲算法設計和代碼調試提供便利

注意事項

1. 必須有終止條件，不然將會陷入死循環
2. 遞歸規模須要有控制，不然會形成程序堆棧溢出，具體受制於操做系統環境，python 默認爲 1000 層
3. 構造方法中不能使用遞歸
4. 遞歸能夠簡化程序邏輯，但不能提升運行效率，遞歸的基礎是經過在內存中建立堆棧完成的，若是不加優化，處理過程是非並不是的
5. 遞歸算法的時間複雜度爲 O(n3)，即運算時間會以規模的3次冪速度增加，能夠這麼感覺下，假如漢諾塔中，盤子有64層，用如今最早進的計算，所花的時間將遠遠超過宇宙的年齡

實踐

終於到了實踐部分了，爲您的耐心點贊，咱們用遞歸算法畫一棵分形樹

分形樹就是一棵樹的局部形狀和總體形狀類似，天然界中很常見，例如一片葉子上的形狀，和整棵樹的形狀類似，即整棵樹由樣式相同的無數個從小到大的形狀構成

天然分形樹

那麼如何用程序畫出一個分形樹呢？能夠先畫最小的，而後畫次大的，最後組成整個形狀，就是今天聊的 遞歸算法

Turtle 繪圖庫

既然要畫，就須要安裝一個畫庫工具，Python 中有各式各樣的繪圖包，咱們選用 Turtle 庫，庫如其名，能夠將 Turtle 想象成一個小烏龜，逐漸在海灘上移動，畫出一個圖形來，經過將簡單圖形組合起來，能夠輕鬆地繪製出精美的形狀和圖案
安裝

> pip install turtle

概念

• 畫布: 就是 turtle 爲咱們展開用於繪圖區域，能夠設置它的大小和初始位置
• 畫筆: 就是用來繪製線條的筆頭，能夠設置粗細，顏色，方向等屬性
• 繪圖命令: 用來控制畫筆朝向、移動、落筆、起筆等動做的，還有命令是用於作全局設置的，例如清除畫布，撤銷前一個動做等

示例

有了這些概念，就能夠經過代碼來設置畫布，控制畫筆繪製圖形了，代碼很簡單：

from turtle import Turtle

myTurtle = Turtle()
myTurtle.forward(100)

• 先引入構造方法 Turtle
• 建立一個 Turtle 實例，會初始化一個畫筆，而且將畫筆放置在畫布中心位置，方向朝右
• 調用向前移動方法 forward 畫一條長度爲 100 個像素的直線

繪製分形樹

有了繪製工具，就解決了技術問題，如今能夠專心思考算法了

問題設定

爲了簡便，選擇最簡單的二叉分形樹來畫，最基本形狀是一個二叉樹，由樹幹和左右兩個枝叉組成，左右樹杈於樹幹的夾角設置爲 20 度，像一個 Y 字

問題分析

• 常規思惟：先畫根樹幹，而後分別畫兩個樹杈，每一個樹杈又是一棵樹，接着在各自的樹幹上再畫出兩個樹杈，如此循環往復，直到畫出最小樹的兩個樹杈爲止

• 遞歸思惟：在畫根樹幹後，假如先畫右側分枝，畫完後，這個分枝若是不是最小樹的枝，就須要爲其畫右分支，如此往復，直到畫出了最小樹的右側分枝，此時就能夠畫最小樹的左側分枝了，當畫完左側分枝後，就畫完整了一顆最小樹，因而能夠畫比最小數大一級的樹的左側分枝了，如此往復，直到繪製完整棵樹

是否是有點繞？下面的圖片展現了部分繪製過程，可能更直觀：

實現

直接上代碼：

from turtle import Turtle

# 分形樹遞歸方法
def fractalTree(branchLen, t):
    if branchLen > 0:
        t.forward(branchLen)
        t.right(20)
        fractalTree(branchLen - 15, t)
        t.left(40)
        fractalTree(branchLen - 15, t)
        t.right(20)
        t.backward(branchLen)

# 初始化畫布和畫筆
t = Turtle()  # 建立畫布實例
t.screen.delay(3)  # 設置繪製顯示延遲，以便觀察過程
t.pensize(2)  # 設置畫筆粗細爲 2 個像素
t.color('green')  # 設置畫筆顏色爲 綠色
t.left(90)  # 向左旋轉 90 度，即讓畫筆朝上
t.up()  # 擡起畫筆，即在移動時不會繪製
t.backward(300)  # 相對畫筆朝向，向後退 300 個像素
t.down()  # 落下畫筆，準備繪製

# 繪製分形樹，根樹幹長度爲 105 像素
fractalTree(105, t)

# 獲取畫布窗口，並設置關閉條件爲點擊窗口，以便在執行完成後保留繪圖窗口
t.getscreen().exitonclick()

上面代碼分爲三部分，Turtle 引入、分形樹方法定義，以及分形樹繪製

Turtle 引入沒必要解釋，分形樹繪製部分有詳細註釋，也沒必要多說，主要分析下分形樹方法 fractalTree：

• 首先設置退出條件，即當要繪製的樹幹長度小於等於 0 時，結束繪製過程，再也不繼續繪製
• 若是繪製的樹幹長度大於 0，先向前繪製出樹幹，注意，畫筆方向已經被設置爲向上
• 而後將畫筆向右調整 20 度，準備繪製右側樹枝
• 右側樹枝應該比樹幹短一下，這裏設置爲短 15 個像素（不一樣的數值畫出的樹略有不一樣），因爲不知道當前樹是否爲最小樹，因此將畫右側樹枝的任務，交給分形樹方法，同時設定了根樹幹長度，即，當前樹幹長度減去 15 像素
• 若是右側樹枝畫完了，向左轉 40 度，即 20 度將畫筆調整爲向上，再轉 20 度，就爲畫左側樹枝的角度
• 同畫右側樹枝同樣，將當前樹幹長度減 15 像素，做爲左側樹杈長度
• 若是左側樹枝畫完後，將畫筆向右調整 20 度，即與樹幹方向一致，而後回退到樹幹起點

總體上看，過程就是，畫樹幹，而後畫右側分枝，再畫左側分枝，最後回到起點，不過在畫兩側分枝時，咱們用了遞歸，讓畫樹的過程獲得重複利用，若是順利，就會看到上面展現的繪製過程，趕忙試試吧

花絮

看似上面過程很順利，其實否則，我在編寫代碼時，不斷的陷入思惟的漏洞，要麼是設置錯了畫筆方向，要麼是畫筆沒有回退到位，等等，烏龍無數（汗！），看下翻車記錄：

失敗案例1

再來一個

失敗案例2

不過也挺好看的，不是嗎

總結

今天經過畫一顆分形樹，瞭解了一下遞歸的概念和應用，總體感受遞歸代碼短小，但思考過程比正常編程過程要複雜的多，不過這就是編程的魅力，更確切的說是數學的魅力，用簡單的符號語言，描繪紛繁複雜的世界…… 最重要的是，Python 支持遞歸 示例代碼中，不只有分形樹方法及翻車代碼，還有個彩蛋，歡迎把玩

參考

• https://docs.python.org/zh-cn/3.9/library/turtle.html
• http://www.360doc.com/content/17/0413/22/35124509_645411240.shtml
  http://www.javashuo.com/article/p-peuatzad-c.html