gcd以及exgcd入門講解

gcd就是最大公約數，gcd(x, y)通常用(x, y)表示。與此相對的是lcm，最小公倍數，lcm(x, y)通常用[x, y]表示。

 

人人都知道：lcm(x, y) = x * y / gcd(x, y)

 

證實起來也不是很難：

（這真的是我本身寫的，由於博客園不支持這格式……）

 

至於gcd的求法，想必各位在高中都學過展轉相除法和更相減損之術，這裏只講展轉相除法（更相減損之術略慢）

 

首先不妨設 x ≤ y,則gcd(x, y)  =gcd(x, x +y) = gcd(x, y - x).因此gcd(x, y) = gcd(y % x, x)，所以能夠遞歸求解。

複雜度證實：由於y % x ≤ x && x ≤ y,因此y % x < y / 2。所以在最壞狀況下爲O(nlogn)。（用斐波那契數列的相鄰兩個數能夠達到最壞複雜度）

 

那麼接下來說一下擴展gcd。

exgcd能夠用來判斷並求解形如ax +by = c 的方程，當且僅當gcd(a, b) | c時，存在整數解x, y。

也就是說，exgcd能夠用來求解方程ax +by = gcd(a, b)

令a = b, b = a % b，則有方程b *x1 +(a % b) * y1 = gcd(b, a % b)

又由於gcd(a, b) = gcd(a % b)，且a % b = a - b * ⌊a / b⌋

則b * x1 + (a - b * ⌊a / b⌋) * y1  =gcd(a, b)

整理得：a * y1 +b * (x1 - ⌊a / b⌋ *y1) = gcd(a, b)

因此原方程中：x = y1, y = x1 - ⌊a / b⌋ *y1。因而咱們只要遞歸求出x1, y1就能求出x, y。

代碼很短

1 void exgcd(ll a, ll b, ll& x, ll& y, ll& c)
2 {
3     if(!b) {y = 0; x = 1; c = a; return;}
4     exgcd(b, a % b, y, x); y -= a / b * x;
5 }

其中c = gcd(a, b)

值得注意的是，遞歸調用的時候y的位置上傳了x，x位置上是y，也就是說，y裏存的是x1,x裏存的是y1，因此y -= a / b *y1，即y -= a / b * x。

 

咱們如今已經求得了ax +by = gcd(a, b)的解,那麼對於方程ax + by = c (gcd(a, b) | c)呢？

由於已經知道a *x1 +b * y1 = gcd(a, b)的解x1, y1，左右兩邊同乘以c / gcd(a, b) 得：

a * x1 * c / gcd(a, b) +b * y1 * c / gcd(a, b) = c

則原方程的一組解x2 = x1 * c / gcd(a, b)， y2 = y1 * c / gcd(a, b)

由此得出解集{(x, y) | x = x2 + k * b / gcd(a, b)， y = y2 - k * a / gcd(a, b), k ∈ z}