快速冪原理解析與其餘方法回顧

快速冪原理解析與其餘方法回顧

 

目錄：
一.回顧樸素法與使用庫函數，分析利弊。

二.引例：指數的分解，即快速冪的原理。

三.源代碼。

 

正文：

　一.回顧

　　1.1.已知的方法

　　關於求a的n次方，有幾種作法吶？對於初學者來講有兩種。以下所示

1 void poww1(int a, int b){ 2     long long ans = 1; 3     for(register int i = 0; i < b; i++) 4         ans *= a; 5     return ans; 6 }

1 　#include <cmath>//poww2
2     ans = (long long) pow(a, b);//調用cmath庫的pow函數，可是注意返回值不是longlong/int型，是double型

　　觀察poww1，一個明顯的問題即是它的時間複雜度比較高，是O(n)的複雜度，即n次方須要乘n次纔可獲得結果，較慢。

　　觀察poww2，更加明顯的問題在於其函數的返回值是個浮點數，這是一個定時炸彈，有可能使用pow(10, 4)時獲得9999的答案，讓你調試後欲哭無淚。

 

　　1.2. 測試對比

　　測試程序以下：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cmath>
 4 using namespace std;  5 int main(){  6      int n = 0;  7      for(int i = 0; i <= 4; i++)  8          n += (i+1)*(int)pow(10, 5-i);  9      cout << n << endl; 10      return 0; 11 }

 

　　使用Dev-C++ 5.4.0 與Smart c++ 2013分別運行，獲得測試數據：

　　因爲精度問題，結果不一樣。

　　有人會說："不要強轉成int啊，用long long 就不會丟失精度啦。"

　　那麼將循環改爲——

1 for(int i = 0; i <= 4; i++) 2     n += kong[i]*(long long)pow(10, 5-i); 

　　測試結果以下：

　　根本就沒有變哎！

 

　　1.3.對比兩種方法運行的時間與準確性

　　利用循環次數更大的測試程序以下：

1     int i; 2     long long n = 0; 3     for(i = 0; i <= 10; i++){ 4         n += (i+3)*(long long)pow(5, 11-i); 5  } 6     cout << n << endl;  

 1 long long poww(int a, int b){  2     long long ans = 1;  3     for(int i = 0; i < b; i++)  4         ans *= a;  5     return ans;  6 }  7 int main(){  8     int i;  9     long long n = 0; 10     for(i = 0; i <= 10; i++){ 11         n += (i+3)*(long long)pow(5, 11-i); 12  } 13     cout << n << endl; 14     return 0; 15 }

　　運行結果以下：

　　（上下分別是方法二與方法一）

 

　　1.4. 結論

　　二者優劣一目瞭然：方法一相對較快且保證在不超範圍內必定正確，不過要多打幾行代碼；方法二短，可是坑。

　　若選擇以上兩種方法，本身選吧。。。

　　那麼咱們的目標即是繼承方法一的優勢，改良其缺點：即保持準確性的狀況降低低時間複雜度。

 

　二.快速冪引理

　　2.1.先看效果：

　　答案一致，時間不到方法一的1/2，而且在當次方數極大的時候，時間會遠小於方法一,緣由即是由於其時間複雜度爲O(logn)（logn一般指log2n）。

 

　　2.2引理的數學形式（實際上是僞證）

　　引理：∀ 取X∈N*皆可被分解爲形如X = 2^a+2^b+...+2^k(a != b !=  ……  != k);

　　設2^0+2^1+2^2+…+2^n = m;……(1)式

　　2^1+2^2+2^3+…+2^(n+1) = 2*m;……(2)式

　　(2)式-(1) 式= (1)式 = 2^(n+1)-2^0 = 2^(n+1)-1……(*)

　　當X != 2^m時

　　∵int X > 0;

　　∴ X = 2^m - 1 - k(int k >= 0);

　　if(x%2 == 1)　　k %2 == 0;

　　else k%2 == 1;

　　∵2^m - 1 = 2^0 + 2^1 + … +2^(m-1);

　　∴若原式成立，則k可分解爲2某些次方的和。

　　當k%2 == 1時，必有2^0,減掉，k爲偶數;

　　那麼如今X 就縮小爲了正偶數。

　　觀察2 4 8 16 ……咱們會發現一點，即第i個數後面的數都2^i有做爲因數，而它前面的數因數中則沒有2^i，經過這個即可以肯定k的分解。

　　利用遞歸的思想……X縮小爲4的倍數，8的倍數……

 

　　2.3例子：

　　舉個例子 : k = 17的分解，按照如下步驟。

　　int cnt = 1;

　　while (k){

　　　if(k%(2^cnt) != 0) {

　　　　k獲得新的分解 : 2^(cnt-1);

　　　　k -= 2^(cnt-1);

　　　　//此時k%2(cnt) == 0

　　　　cnt ++;

　　}

　}

　　17%2 = 1; =>　17 = 2^0 + m;　17-1 = 16;

　　16%2 = 0; =>　16/2 = 8　

　　……

　　1%2 = 1; =>17 = 2^0 +2^4;

 　　1/2 = 0 終止循環； 

　　那麼這種東東對作冪運算有什麼用呢？

　　答案即是 —— 將指數按照此方法分解。

　　例如：求6^11

　　咱們已知 6^0 = 1 ,a =  6^1 = 6;

　　11 = 2^0 + 2^1 + 2^3;

　　因此 6^11 = 6^1 * 6^2 * 6^8;

　　咱們還知道 a^2 = 36;

　　那麼咱們將上述分解指數的步驟加入乘法以得到最終解：

　　curr = 6;ans = 1;

　　11 % 2 = 1 => ans *= 6^0;curr = 6^2

　　5 %2 = 1 => ans *= 6^2;curr = 6^4;

　　2%2 = 0 =>curr = 6^8;

　　1%2 = 0 ans *=c urr; ans = 6^11;

　　一共用了ceil(log(2)11) = 4 步

　　每次curr平方一次，以準備下一次的使用。而當k%2 == 1 時，就意味着須要使用curr將指數進行分解。

 

　　2.4.源代碼 

　　那麼給出源代碼:

 1 void poww(int a, int b){ 2     long long curr = a,ans = 1, last;
 3     while (b){
 4         if(b%2)    ans *= curr;
 5         curr *= curr;
 6         b /= 2;}
 8     return ;
 9 }

　　步驟與上面如出一轍。

　　由此，快速冪便完成了。　

　　箜瑟_qi 2016.02.08