補碼和浮點數表示

原文：https://www.cnblogs.com/lihaichao/p/9627405.html

一.模。

　　模是指一個計量系統的計數範圍。如時鐘等。計算機也是一個計算器，它也是有一個計量範圍，即都存在一個「模」。 
  如時鐘的計量範圍是0~11，模 = 12。 
  32位計算機的計量範圍是2^³²，模 = 2^³²。 

二.補數。

假設當前時針指向11點，而準確時間是8點，調整時間可有如下兩種撥法：

• 一種是倒撥3小時，即：11-3=8
• 另外一種是順撥9小時：11+9=12+8=8

  在以模爲12的系統中，加9和減3效果是同樣的，所以凡是減3運算，均可以用加9來代替。對「模」12而言，9和3互爲補數（兩者相加等於模）。因此咱們能夠得出一個結論，即在有模的計量系統中，減一個數等於加上它的補數，從而實現將減法運算轉化爲加法運算的目的。

       在補碼中，0有惟一的表示。

三.補碼原理。

 # 按以上理論，減一個數等於加上它的補數，因此
 5 - 3
 # 等價於 
 5 + (16 - 3)   // 算術運算單元將減法轉化爲加法
 # 用二進制表示則爲：
 0101 + (10000 - 0011)
 # 等價於
 0101 + ((1 + 1111) - 0011)
 # 等價於
 0101 + (1 + (1111 - 0011))
 # 等價於
 0101 + (1 + 1100) // 括號內是3（0011）的反碼+1，正是補碼的定義
 # 等價於
 0101 + 1101
 # 因此從這裏能夠獲得
 -3 = 1101
 # 即 `-3` 在計算機中的二進制表示爲 `1101`，正是「 -3 的正值 3（`0011`）的補碼（`1101`）」。
 # 最後一步 0101 + 1101 等於
 1001

 

四.移碼。

 　　移碼經常使用來表示浮點數的階碼。IEEE754中解碼用移碼錶示。

   

 

    其中X爲真值，與補碼相比，數值位徹底相同，符號位相反。

五.浮點數據表示。

 

 

　    階碼部分E採用的是移碼。

　　　 爲何採用移碼？

　　原文：https://blog.csdn.net/a7515780/article/details/60469155

單精度浮點數（32位），階碼（後面的用偏移階碼錶示，其實在IEEE754表示單精度浮點數都是一個概念）8位，那麼原來8位二進制數有符號二進制表示範圍是-127~127，可是IEEE爲了避免在階碼中引入符號位，且8位偏移階碼（階碼中二進制數爲無符號數）範圍是1～254（爲何不包括0和255？後面說），所以引入偏移碼（移碼），在有符號位的二進制基礎上加127，那麼就有了偏移階碼範圍0～254，可是0不合法，後面說，所以偏移階碼範圍是1～254。    爲何是127呢？？是否是不少人都有這個疑惑。   加上127不就從原來的二進制有符號轉變爲無符號了嘛。IEEE不就是爲了避免在階碼E中不引入符號位才加的127嘛。

填坑，爲何範圍是1～254？

由於0用8位階碼用全0表示，255用8位階碼用全1。      出現全0，尾數M全0，符號位爲0，爲正0，符號位爲1，爲負0（IEEE754規定的浮點數有正0負0之分），偏移階碼出現全1，尾數M全0，符號位S爲0，爲正無窮大，符號位S爲1，爲負無窮大。  這就是爲何不把0和255放入偏移階碼範圍中的緣由。

即：全尾數全0或全1時表示其餘特殊意義的數。

我以前也在糾結這個問題，糾結在爲何是127不是128或者其餘數，其實很簡單，就是爲了將有符號轉換爲無符號。   但願我這篇微博能夠幫到還處於迷茫的小夥伴。

　　而移碼是真值加一個偏移值獲得的。

• 對於單精度而言。偏移值由上獲得爲：2^7 - 1= 127.
• 對於雙精度而言。偏移值由上獲得爲：2^10 -1 = 1023

 因此一個浮點數可表示爲：

 

不一樣狀況：

 

六.十進制浮點數真值轉換爲單精度IEEE754.

 

七.單精度IEEE754轉換爲十進制浮點數真值.

 

例子：