泰勒展開式的理解

時間 2019-12-07

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泰勒展開仍是很好理解的，我就我之前學習高數時候根據看課本的理解的在這裏大概講一下吧。
在實際應用中對於具備複雜形式的函數咱們經常但願用較爲簡單的函數形式表示他，那多項式就是這種簡單的形式。
首先仍是先回到函數的局部線性近似這個概念。
舉個栗子，例如函數，當自變量有變化時，即 $\Delta x$ ，自變量y會變化 $\Delta y$ ,帶入到函數裏面就有
$\Delta y=(x+\Delta x)^3-x^3=3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3$
當 $\Delta x \rightarrow 0$ 時，上式的後兩項是 $\Delta x$ 的高階無窮小捨去的話上式就變成了
$\Delta y=3x^2\Delta x$
也就是說當自變量x足夠小的時候，也就是在某點的很小的鄰域內， $\Delta y$ 是能夠表示成 $\Delta x$ 的線性函數的。線性函數計算起來，求導起來會很方便。
對於通常函數，當在某點很小領域內咱們也能夠寫成相似上面的這種自變量和因變量之間線性關係，
$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\approx f'(x_0)*\Delta x$
變化一下形式
$\Delta y=f(x)-f(x_{0} )$ , $\Delta x = x-x_0$ 在代入上式就有，
,移項有，

這個式子是否是很面熟？這個就是在點鄰域內舍掉高階無窮小項之後獲得的局部線性近似公式了。爲了提升近似的精確度，因而把上面的一次近似多項式修正爲二次多項式（利用洛必達法則和二階導數定義，爲了理解推導忽略），在進一步，二次修正爲三次。。。一直下去就獲得了n階泰勒多項式了。
所謂更精確的近似也就是有了更高的密切程度，這種程度是經過導數來體現的。
例如只作了一次近似的話，

近似的多項式和原始函數是經過同一點的。
若進行二次近似，
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)$
近似的多項式和原始函數既過同一點，並且在同一點的導數相同，也就是多項式表達的函數在點的切線也相同。
相似進行三次近似的話，不只通過同一點，切線相同，彎曲程度也相同了。
一直下去。。。。
這樣近似相關程度多大，近似的也就越精確了。

（圖片來自樓上提供的網站Intuition explanation of taylor expansion?）
最後，總結一下好了，泰勒展開就是用形式簡單的多項式來近似在鄰域內的函數，展開越多近似程度越高。app