[ARC101E]Ribbons on Tree(容斥，dp)

Description

給定一棵有 \(n\) 個節點的樹，知足 \(n\) 爲偶數。初始時，每條邊都爲白色。

如今請你將這些點兩兩配對成 \(\frac{n}{2}\) 個無序點對。每一個點對之間的的路徑都會被染成黑色

求有多少種配對方案，使得樹上沒有白邊？

\(n\le 5000\)

Solution

法一：

樹上的路徑很難直接考慮。

有一種容斥的作法：記邊集爲 E ，枚舉 T 子集中的邊強制爲白邊，其他的不做限制， 那麼：

\[ Ans = \sum_{T\subseteq E} (-1) ^ {T} F(T) \]

\(F(T)\) 爲強制 T 的邊爲白邊的方案數。

把 T 刪掉後不難發現樹變成了若干個聯通塊，顯然這若干個連通塊是獨立的。

對於一個大小爲 n 的連通塊，兩點隨便配對的方案數是 \((n - 1) * (n - 3) * \cdots * 1\)，記爲 \(g(n)\) 。

然而暴力枚舉 T 複雜度太高，考慮樹型 dp ，須要知道的狀態是 u 當前所在聯通塊大小以及容斥係數(即 T 的奇偶)。

設 \(dp[u][i][0/1]\) 爲 u 子樹內，u 所在聯通塊大小爲 i ，T 的奇偶性是 0 / 1 的方案數。

轉移就合併 u 的子樹 v ，同時考慮 <u, v> 這條邊是否選入 T 集合，有點作 01 揹包的感受。

\[ dp[v][i][a]\times dp[u][i][b] \rightarrow dp'[u][i + j][a\oplus b]\\ dp[v][j][a]\times dp[u][i][b]\times g[i] \rightarrow dp'[u][i][a\oplus b\oplus 1] \]

最後答案就是 \(|T|\) 爲偶數的 - \(|T|\) 爲奇數的。

\[ Ans = \sum_{i = 1} ^ n (dp[root][i][0] - dp[root][i][1]) \times g[i] \]

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

#define End exit(0)
#define LL long long
#define mp make_pair
#define SZ(x) ((int) x.size())
#define GO cerr << "GO" << endl
#define DE(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)

void proc_status()
{
    freopen("/proc/self/status","r",stdin);
    string s; while(getline(cin, s)) if (s[2] == 'P') { cerr << s << endl; return; }
}

template<typename T> inline T read() 
{
    register T x = 0;
    register char c; register int f(1);
    while (!isdigit(c = getchar())) if (c == '-') f = -1;
    while (x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48), isdigit(c = getchar()));
    return x * f;
}

template<typename T> inline bool chkmin(T &a,T b) { return a > b ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmax(T &a,T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }

const int maxN = 5000 + 2;
const int mod = 1e9 + 7;

vector<int> adj[maxN + 2];
int g[maxN + 2], n, size[maxN + 2];
int dp[maxN + 2][maxN + 2][2];

void input()
{
    n = read<int>();
    for (int i = 1; i < n; ++i)
    {
        int u = read<int>(), v = read<int>();
        adj[u].push_back(v), adj[v].push_back(u);
    }
}

void dfs(int u, int f)
{
    static int tmp[maxN + 2][2];

    size[u] = 1;
    dp[u][1][0] = 1;
    for (int v : adj[u])
        if (v != f)
        {
            dfs(v, u);
            for (int i = 0; i <= size[u]; ++i)
                for (int j = 0; j <= size[v]; ++j)
                    for (int a = 0; a < 2; ++a)
                        for (int b = 0; b < 2; ++b)
                        {
                            (tmp[i + j][a ^ b] += (LL) dp[v][j][a] * dp[u][i][b] % mod) %= mod;
                            if (!(j & 1))
                                (tmp[i][a ^ b ^ 1] += (LL) dp[v][j][a] * dp[u][i][b] % mod * g[j] % mod) %= mod;
                        }
            size[u] += size[v];
            for (int i = 0; i <= size[u]; ++i)
                for (int j = 0; j < 2; ++j)
                    dp[u][i][j] = tmp[i][j], tmp[i][j] = 0;
        }
}

void solve()
{
    g[0] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i += 2) g[i] = (LL) g[i - 2] * (i - 1) % mod;
    dfs(1, 0);
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        (ans += ((LL) dp[1][i][0] - dp[1][i][1] + mod) * g[i] % mod) %= mod;
    cout << ans << endl;
}

int main() 
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("xhc2.in", "r", stdin);
    freopen("xhc2.out", "w", stdout);
#endif
    input();
    solve();
    return 0;
}

法二：

仍是基於上面的容斥。

設 \(dp[u][i]\) 爲 u 子樹內還有 i 個點沒有匹配，但考慮了容斥係數的答案。

合併子樹後注意下 \(dp[u][0]\) 的轉移要乘以 -1 的容斥係數（根除外）

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

#define End exit(0)
#define LL long long
#define mp make_pair
#define SZ(x) ((int) x.size())
#define GO cerr << "GO" << endl
#define DE(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)

void proc_status()
{
    freopen("/proc/self/status","r",stdin);
    string s; while(getline(cin, s)) if (s[2] == 'P') { cerr << s << endl; return; }
}

template<typename T> inline T read() 
{
    register T x = 0;
    register char c; register int f(1);
    while (!isdigit(c = getchar())) if (c == '-') f = -1;
    while (x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48), isdigit(c = getchar()));
    return x * f;
}

template<typename T> inline bool chkmin(T &a,T b) { return a > b ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmax(T &a,T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }

const int maxN = 5000 + 2;
const int mod = 1e9 + 7;

int n;
int ver[maxN << 1], nxt[maxN << 1], head[maxN + 2];
int dp[maxN + 2][maxN + 2], tmp[maxN + 2], size[maxN + 2], g[maxN + 2];

inline void Inc(int &x) { x < 0 ? x += mod : 0; }
inline void Dec(int &x) { x >= mod ? x -= mod : 0; }

void link(int u, int v)
{
    static int ecnt = 0;
    ver[++ecnt] = v, nxt[ecnt] = head[u], head[u] = ecnt;
}

void dfs(int u, int fa)
{
    dp[u][1] = 1;
    size[u] = 1;
    for (int i = head[u]; i; i = nxt[i])
    {
        int v = ver[i];
        if (v == fa) continue;
        dfs(v, u);
        for (int i = 0; i <= size[u]; ++i)
            for (int j = 0; j <= size[v]; ++j)
                Dec(tmp[i + j] += 1ll * dp[u][i] * dp[v][j] % mod);
        size[u] += size[v];
        for (int i = 0; i <= size[u]; ++i) dp[u][i] = tmp[i], tmp[i] = 0;
    }
    for (int i = 1; i <= size[u]; ++i) Inc(dp[u][0] -= 1ll * dp[u][i] * g[i] % mod);
}

int main() 
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("xhc.in", "r", stdin);
    freopen("xhc.out", "w", stdout);
#endif
    n = read<int>();
    for (int i = 1; i < n; ++i) 
    {
        int u = read<int>(), v = read<int>();
        link(u, v), link(v, u);
    }
    g[0] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) g[i] = 1ll * g[i - 2] * (i - 1) % mod;
    dfs(1, 0);
    printf("%d\n", (mod - dp[1][0]) % mod);
    return 0;
}