BZOJ 4916 神犇和蒟蒻

Description

好久好久之前，有一隻神犇叫yzy;

好久好久以後，有一隻蒟蒻叫lty;

Input

請你讀入一個整數N;1<=N<=1E9,A、B模1E9+7;

Output

請你輸出一個整數A=\sum_{i=1}^N{\mu (i^2)};

請你輸出一個整數B=\sum_{i=1}^N{\varphi (i^2)};

Sample Input

1

Sample Output

1
1

第一問很可笑，衆所周知，μ(i*j)若是gcd(i,j)!=1,那麼μ(i*j)就是0

也就是說，第一問不管n多大就是1

第二問能夠轉化爲$\sum_{i=1}^ni*\phi(i)$

這是從定義式推來的

令

$f[n]=n*\phi(n)$

$S[n]=\sum_{i=1}^ni*\phi(i)$

而後就是杜教篩

$g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(f*g)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac{n}{i})$

$\sum_{i=1}^n(f*g)(i)$
$=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f(\frac{i}{d})g(d)$
$=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\frac{i}{d}\phi(\frac{i}{d})g(d)$

由於$\sum_{d|i}\phi(d)=i$
因此令g(x)=x
$=\sum_{i=1}^n{i}\sum_{d|i}\phi(\frac{i}{d})$
$=\sum_{i=1}^ni^2$

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<map>
 7 using namespace std;  8 typedef long long lol;  9 int N=8000000,Mod=1e9+7,inv6; 10 int prime[1000001],phi[8000000+5],n,tot; 11 bool vis[8000000+5]; 12 map<int,int> M; 13 int qpow(int x,int y) 14 { 15   int res=1; 16   while (y) 17  { 18       if (y&1) res=1ll*res*x%Mod; 19       x=1ll*x*x%Mod; 20       y>>=1; 21  } 22   return res; 23 } 24 int query(int x) 25 {int i,pos; 26   if (x<=N) return phi[x]; 27   if (M[x]) return M[x]; 28   int as=1ll*(x+1)*x%Mod*(2*x+1)%Mod*inv6%Mod; 29   for (i=2;i<=x;i=pos+1) 30  { 31       pos=x/(x/i); 32       as-=(1ll*(pos+i)*(pos-i+1)/2)%Mod*query(x/i)%Mod; 33       as=(as+Mod)%Mod; 34  } 35   return M[x]=as; 36 } 37 void pre() 38 {int i,j; 39   phi[1]=1; 40   for (i=2;i<=N;i++) 41  { 42       if (vis[i]==0) 43  { 44       prime[++tot]=i; 45       phi[i]=i-1; 46  } 47       for (j=1;j<=tot;j++) 48  { 49       if (1ll*i*prime[j]>N) break; 50       vis[i*prime[j]]=1; 51       if (i%prime[j]==0) 52  { 53           phi[i*prime[j]]=1ll*phi[i]*prime[j]%Mod; 54           break; 55  } 56       else phi[i*prime[j]]=1ll*phi[i]*(prime[j]-1)%Mod; 57  } 58  } 59   for (i=1;i<=N;i++) 60  { 61       phi[i]=(1ll*i*phi[i]%Mod+phi[i-1])%Mod; 62  } 63 } 64 int main() 65 { 66   cin>>n; 67   cout<<1<<endl; 68   N=min(N,n); 69  pre(); 70   inv6=qpow(6,Mod-2); 71   printf("%d\n",query(n)); 72 }