圖論基礎

1 圖的定義：G = （V, E），如圖G1  V = {a, b, c, d, e, f}   E = {{a, b}, {b, c}, {b, d}, {d, e}}

2 有向圖，無向圖：例如G1和G2是無向圖，G3和G4是有向圖

3 端點：被邊鏈接的兩個節點，若爲有向邊則存在首端和尾端

4 鄰節點： 相鄰的無向邊的端點組成的集合

　　　　　　例如：圖G1中的b的鄰節點爲N(b) = {a, c, d}

5 徹底圖：某圖中任意兩節點都互爲鄰點，如圖G2

6 有向圖的鄰節點：u的鄰節點必須是一條從u出發的有向邊所指向的那個節點

7 節點的度數：節點v所鏈接的無向邊數，也是N(v)中元素的個數，記爲d(v)

　　　　　　　對於有向圖，還存在入度數和出度數

8 孤點：若某一個節點的度數爲0，則稱爲該點爲孤點

9 子圖，超圖：若W爲V的子集，F爲E的子集，則圖H = (W, F)是圖G = (V, E)的子圖，反之爲超圖

10 路徑：特殊的圖圖結構，主要以子圖的形式出現，例如G2中的加粗的部分

11 環路：如G3中的a, c, d

12 邊的權重： w(e)

13 連通：若是某圖中的任意兩點之間都存在路徑，稱該圖是連通的

　　　　例如：G1爲非連通圖

14 連通份量：G1中最大的連通子圖

　　　　　　例如G1中有兩個連通子份量 a, b, c, d, e和f

15 森林，樹：無向的無環圖稱爲森林，而它的連通份量稱爲樹

　　　　　　一棵樹就是接通的森林（由單一連通份量組成的森林）

　　　　　　G1是包含兩棵樹的森林，其餘的都是隻有一棵樹的森林

16 葉節點：在一棵樹中，度數爲1的節點稱爲葉節點

17 內部節點：除了葉節點，其餘的都是內部節點

　　　　　　例如：G1的大樹由三個葉節點和兩個內部節點，G1的小樹只有一個內部節點

18 樹的特性：假設T爲一個擁有n個節點的無向圖（一下命題全是等價的）

　　T是一棵樹（T是無環的連通圖）

　　T是無環圖，且只有n-1條邊

　　T是連通圖，且只有n-1條邊

　　其任意兩個節點之間有且只有一條路徑

　　T是無環圖，但任意再添加一條新邊都會產生迴路

　　T是連通圖，但任意再刪除一條邊都會將它分紅兩個鏈接份量

19 有根樹，自由樹：一般在構建樹結構以前會賦予它一個根節點，則該樹爲有根樹，不然爲自由樹（根節點視爲內部節點）

20 上，下：指向根節點的方向是向上的，指向葉節點則是向下的

21 節點的深度：節點與根節點之間的距離定義爲深度

22 節點的高度：節點到葉節點的最長的路徑長度

　　　　　　　　整棵樹的高度爲根節點的高度

23 層：全部包含相同深度節點的集合稱爲層

　　　　例如G1中，若a爲根節點，則這棵樹的高度爲3，c, d的深度都爲2

　　　　第零層：a， 第一層：c, d  第三層：e

24 父節點和子節點：如G1中a爲b的父節點， d爲b的子節點

25 前輩節點和後輩節點

26 兄弟節點：共享一個父節點的節點互爲兄弟節點，有時兄弟節點是有序的

27 有向無環圖DAG：顧名思義，有向的並且是無環的圖，例如G4