【數據校驗雜談】循環冗餘檢驗 (CRC) 算法原理

循環冗餘檢驗 (CRC) 算法原理

Cyclic Redundancy Check循環冗餘檢驗，是基於數據計算一組效驗碼，用於覈對數據傳輸過程當中是否被更改或傳輸錯誤。

算法原理

假設數據傳輸過程當中須要發送15位的二進制信息g=101001110100001，這串二進制碼可表示爲代數多項式g(x) = x^14 + x^12 + x^9 + x^8 + x^7 + x^5 + 1，其中g中第k位的值，對應g(x)中x^k的係數。將g(x)乘以x^m，既將g後加m個0，而後除以m階多項式h(x)，獲得的(m-1)階餘項r(x)對應的二進制碼r就是CRC編碼。

h(x)能夠自由選擇或者使用國際通行標準，通常按照h(x)的階數m，將CRC算法稱爲CRC-m，好比CRC-3二、CRC-64等。國際通行標準能夠參看http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_redundancy_check

g(x)和h(x)的除運算，能夠經過g和h作xor（異或）運算。好比將11001與10101作xor運算：

      

明白了xor運算法則後，舉一個例子使用CRC-8算法求101001110100001的效驗碼。CRC-8標準的h(x) = x^8 + x^7 + x^6 + x^4 + x^2 + 1，既h是9位的二進制串111010101。 

      

通過迭代運算後，最終獲得的r是10001100，這就是CRC效驗碼。

經過示例，能夠發現一些規律，依據這些規律調整算法： 

1. 每次迭代，根據gk的首位決定b，b是與gk進行運算的二進制碼。若gk的首位是1，則b=h；若gk的首位是0，則b=0，或者跳過這次迭代，上面的例子中就是碰到0後直接跳到後面的非零位。

               


2. 每次迭代，gk的首位將會被移出，因此只需考慮第2位後計算便可。這樣就能夠捨棄h的首位，將b取h的後m位。好比CRC-8的h是111010101，b只需是11010101。 

      

3. 每次迭代，受到影響的是gk的前m位，因此構建一個m位的寄存器S，此寄存器儲存gk的前m位。每次迭代計算前先將S的首位拋棄，將寄存器左移一位，同時將g的後一位加入寄存器。若使用此種方法，計算步驟以下： 

      

※藍色表示寄存器S的首位，是須要移出的，b根據S的首位選擇0或者h。黃色是須要移入寄存器的位。S'是通過位移後的S。

 

查表法

一樣是上面的那個例子，將數據按每4位組成1個block，這樣g就被分紅6個block。

      

下面的表展現了4次迭代計算步驟，灰色背景的位是保存在寄存器中的。 

      

經4次迭代，B1被移出寄存器。被移出的部分，不咱們關心的，咱們關心的是這4次迭代對B2和B3產生了什麼影響。注意表中紅色的部分，先做以下定義：

   B23 = 00111010
   b1 = 00000000
   b2 = 01010100
   b3 = 10101010
   b4 = 11010101
   b' = b1 xor b2 xor b3 xor b4

4次迭代對B2和B3來講,實際上就是讓它們與b1,b2,b3,b4作了xor計算，既：

   B23 xor b1 xor b2 xor b3 xor b4

能夠證實xor運算知足交換律和結合律，因而：

   B23 xor b1 xor b2 xor b3 xor b4 = B23 xor (b1 xor b2 xor b3 xor b4) = B23 xor b'

b1是由B1的第1位決定的，b2是由B1迭代1次後的第2位決定（既是由B1的第1和第2位決定），同理,b3和b4都是由B1決定。經過B1就能夠計算出b'。另外，B1由4位組成，其一共2^4有種可能值。因而咱們就能夠想到一種更快捷的算法，事先將b'全部可能的值，16個值能夠當作一個表；這樣就能夠沒必要進行那4次迭代，而是用B1查表獲得b'值，將B1移出，B3移入，與b'計算，而後是下一次迭代。

      

可看到每次迭代，寄存器中的數據以4位爲單位移入和移出，關鍵是經過寄存器前4位查表得到
，這樣的算法能夠大大提升運算速度。

上面的方法是半字節查表法，另外還有單字節和雙字節查表法，原理都是同樣的——事先計算出2^8或2^16個b'的可能值，迭代中使用寄存器前8位或16位查表得到b'。

反向算法

以前討論的算法能夠稱爲正向CRC算法，意思是將g左邊的位看做是高位，右邊的位看做低位。G的右邊加m個0，而後迭代計算是從高位開始，逐步將低位加入到寄存器中。在實際的數據傳送過程當中，是一邊接收數據，一邊計算CRC碼，正向算法將新接收的數據看做低位。

逆向算法顧名思義就是將左邊的數據看做低位，右邊的數據看做高位。這樣的話須要在g的左邊加m個0，h也要逆向，例如正向CRC-16算法h=0x4c11db8，逆向CRC-16算法h=0xedb88320。b的選擇0仍是h，由寄存器中右邊第1位決定，而不是左邊第1位。寄存器仍舊是向左位移，就是說迭代變成從低位到高位。