數據結構與算法學習筆記之高效、簡潔的編碼技巧「遞歸」

前言

盜夢空間想象大多數人都看過：電影講述的是主人公諾蘭進入希裏安·墨菲夢境植入想法的行動。爲了向希裏安·墨菲夢植入理念，影片進入四層夢境，即所謂：「夢中的夢中 夢中人的夢中」。

有一對兔子，每隔三個月會產下一對小兔子，小免子每隔三個月，也會產生新的一對免子，問36個月後，共有多少對兔子。

諸如此類：其實就是「遞歸」，今天就一塊兒進入「遞歸」的世界看看

 

正文

1、遞歸的定義

1.遞歸是一種應用普遍的算法，既能運用到軟件開發中成爲高效、簡潔的編碼技巧也能應用到生活中解決實踐遞歸問題，好比DFS深度優先搜索、前中後序二叉樹遍歷等，又好比計算不斷繁衍的後臺個數等等；

2.程序調用自身的方式稱爲遞歸調用，去調用的過程稱爲遞，回來的過程稱爲歸。

3.基本上，全部的遞歸問題均可以用遞推公式來表示，好比

f(n) = f(n-1) + 1; 
f(n) = f(n-1) + f(n-2);
f(n)=n*f(n-1);

2、爲何使用遞歸？

1.遞歸在解決某些問題的時候使得咱們思考的方式得以簡化，代碼也更加精煉，容易閱讀
2.遞歸在處理問題時要反覆調用函數，這增大了它的空間和時間開銷，空間複雜度高、有堆棧溢出風險、存在重複計算、過多的函數調用會耗時較多等問題。

 

3、什麼樣的問題能夠用遞歸解決呢？

一個問題只要同時知足如下3個條件，就能夠用遞歸來解決：
1.問題的解能夠分解爲幾個子問題的解。何爲子問題？就是數據規模更小的問題。
2.問題與子問題，除了數據規模不一樣，求解思路徹底同樣
3.存在遞歸終止條件，不能無限循環。

4、如何實現遞歸

1.遞歸代碼編寫

寫遞歸代碼的關鍵就是將大問題分解爲小問題，寫出遞推公式，找出終止條件，最後將遞推公式和終止條件翻譯成代碼。

舉一個栗子：

假如這裏有n個臺階，每一次你能夠跨過一或二個臺階，請問有幾種走法？

根據第一步的走法把走法分爲兩類，第一步走一個臺階或者走兩個臺階，因此n個臺階的走法就等於先走一階的走法加上先走兩個臺階的走法，遞歸公式爲：

f(n) = f(n-1)+f(n-2)

當只有一個臺階時，咱們就不須要遞歸了，因此終止條件爲：

f（1）=1

可是隻有它還不足夠，n=2時，f（2）=f（1）+f（0）還有f(0)=1,也就是第0階也要有一種走法，不和邏輯，因此終止條件還有一個：

f（2）=2

編寫爲代碼爲：

int f(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; return f(n-1) + f(n-2); }

 

2.遞歸代碼理解

對於遞歸代碼，若試圖想清楚整個遞和歸的過程，其實是進入了一個思惟誤區。
那該如何理解遞歸代碼呢？若是一個問題A能夠分解爲若干個子問題B、C、D，你能夠假設子問題B、C、D已經解決。並且，你只須要思考問題A與子問題B、C、D兩層之間的關係便可，不須要一層層往下思考子問題與子子問題，子子問題與子子子問題之間的關係。屏蔽掉遞歸細節，這樣子理解起來就簡單多了。
所以，理解遞歸代碼，就把它抽象成一個遞推公式，不用想一層層的調用關係，不要試圖用人腦去分解遞歸的每一個步驟。

5、遞歸常見問題及解決方案

1.警戒堆棧溢出：能夠聲明一個全局變量來控制遞歸的深度，從而避免堆棧溢出。

代碼實現：

// 全局變量，表示遞歸的深度。
int depth = 0; int f(int n) { ++depth； if (depth > 1000) throw exception; if (n == 1) return 1; return f(n-1) + 1; }

 

2.警戒重複計算：經過某種數據結構來保存已經求解過的值，從而避免重複計算。

如用散列表來保存已存在的值，改寫上面的代碼以下：

public int f(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; // hasSolvedList 能夠理解成一個 Map，key 是 n，value 是 f(n)
  if (hasSolvedList.containsKey(n)) { return hasSovledList.get(n); } int ret = f(n-1) + f(n-2); hasSovledList.put(n, ret); return ret; }

（代碼來源於網絡）

6、如何將遞歸改寫爲非遞歸代碼？

籠統的講，全部的遞歸代碼均可以改寫爲迭代循環的非遞歸寫法。如何作？抽象出遞推公式、初始值和邊界條件，而後用迭代循環實現。

將上面的代碼實現以下：

 

int f(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; int ret = 0; int pre = 2; int prepre = 1; for (int i = 3; i <= n; ++i) { ret = pre + prepre; prepre = pre; pre = ret; } return ret; }

 

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做者：Dawnzhang 
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