【XSY3413】Lambda - 造計算機初步——邱奇-圖靈論題與lambda演算

題意：

關於邱奇-圖靈論題的一點思考

這道題起源於計算機科學史上一個很是著名的問題——邱奇-圖靈論題，這個論題是可計算性理論的基石，關於它的思考與證實幾乎貫穿了整個計算機科學史，涵蓋了數學、算法理論、數學邏輯學甚至哲學上的廣大深入內容，直至今日還不斷有討論的聲音。今天由於這題去詳細瞭解了一下邱奇-圖靈論題，切實的感受到了這個問題的偉大和影響深遠之處。

邱奇-圖靈論題的觀點代表，任何算法均可以由一臺圖靈機來執行，即以任何編程語言編寫的算法均可以被翻譯（編譯？）成一臺圖靈機，反之亦然，所以任何一種編程語言都足夠用來有效的表達任何算法。

邱奇-圖靈論題最先來源於阿蘭·圖靈和阿隆佐·邱奇關於斷定性問題可否被解決的證實，當時邱奇首先利用遞歸函數和「可定義」函數來形式化地描述了有效可計算性，緊接着圖靈證實了「斷定性問題」是不可解的（不可解問題最著名的一個例子是停機問題，詳解我或許會寫一篇博客？），根據邱奇對有效可計算性的描述，圖靈又證實了圖靈機所描述的是同一集合的函數（即任意語言集合）。

對這一論題的觀點進行延伸，能夠得出一個結論：數學和邏輯學中的全部有效運算方法都可以用一臺圖靈機來表示和演算，一般這些方法須要知足：

1.由有限多的精確指令組成，每一條指令均可以由有限多的符號來描述；

2.每一個方法都會在有限步驟內產生結果；（關於這一條的爭議貌似跟NP完備性問題有關……請不要問我）

3.該方法的執行不須要人類的智慧理解，即只須要按照給出的指令計算便可得出結果；

其中一個範例能夠參考自遞歸的歐幾里得算法。

在圖靈以後，陸續有許多科學家也提出了不一樣的描述有效計算的機制，但全部這些體系都已經被證實是圖靈徹底的，即在計算和證實上和圖靈機是幾乎等價的，因此廣泛認爲邱奇-圖靈論題是正確的。可是一個嚴重的漏洞是該論題並無被嚴謹證實，只是沒法找到一個圖靈機不容許的有效算法，卻沒能證實不存在這樣的算法。所以能夠說「有效可計算性」這個詞的定義也是不嚴謹的，而如今的數學家們大都對這個問題避而不談，改用另外一個定義良好的詞——「圖靈可計算性」來描述可計算性。筆者認爲這樣在問題定義還不清晰的基礎上去頻繁使用是很是「危險」的，由於定義的一點破綻可能會致使整個計算機科學體系的崩塌（參見第二，第三次數學危機）。

在哲學方面，邱奇-圖靈論題的意義很是深入，涉及到宇宙的本質和超計算的可能性。

1.廣義的邱奇-圖靈論題認爲宇宙是一臺圖靈機，能夠存儲無限精度的實數，若是這樣定義，則宇宙中不存在實數，只存在可計算數；由上，若是該定義爲真，則在物理上對非遞歸函數的計算是不可能的；

2.宇宙不是一臺圖靈機，則物理定律都不是圖靈可計算的，但在此基礎上創建「超計算機」並非不可能的；

3.宇宙是一臺（量子）超計算機，則能夠經過物理設備來控制這一特徵來計算非遞歸函數，即量子力學中的事件都是圖靈可計算的，由量子比特構成的系統都是圖靈完備的，甚至有人認爲人的心智就是量子演算的結果；

拋去哲學上的問題不談，筆者認爲邱奇-圖靈論題最偉大的地方在於辨清了計算，圖靈機和編程語言的關係，把計算機科學和其它科學領域劃清了界限，對「算法」自己給出了精確的定義，以及對於「有效運算」和可計算性的探討，使人對「計算機」這一律念有更充分的理解。能夠說整個計算機科學的理論根基都是由這一論題發展起來的，如今咱們寫的每一行代碼與其都有不可或缺的聯繫。

（部分摘自百度百科）

一些資料：

https://www.zhihu.com/question/21579465/answer/106995708

https://wenku.baidu.com/view/b1bb8eade009581b6ad9eb41.html

http://www.javashuo.com/article/p-xlxsjwhy-bx.html

題解：

其實這題跟邱奇圖靈論題並無什麼關係……就當我上面那麼長一段在胡扯吧

其實$\lambda-$演算能夠當作是如今全部編程語言的前身，甚至早於彙編語言和01機器碼；

以我的的理解，$\lambda-$演算中的全部變量都既能夠是一個值也能夠是一個函數（表達）式，而全部函數式和變量加起來就是組成了表達式，廣義的來講，如今python和C++中的lambda隱式表達式都是$\lambda-$演算中的表達式的延伸。

那麼題目中的三種表達式形式分別能夠理解爲：

1.$a$：表示一個變量的值或其表明的表達式；

2.$\lambda x.N$：表示（定義或調用）一個函數$f(x)$，返回將$x=(x的實際值)$代入表達式N（實際上也能夠是一個單獨的變量，只不過調用了它所表明的表達式）的結果；從另外一個角度來講，形如$\lambda x.\lambda y.N$的表達式能夠看做接受兩個參數$x,y$的函數；

3.$F~A$：將$A$做爲$F$的參數代入求值，即調用函數$f(A)$。

下面的一大段例子能夠省略，只須要知道$\lambda-$演算是默認左結合的，即在不加括號的狀況下會按照從左到右的順序依次將右側的表達式代入左側求值，且參數不一樣而形式相同的函數被認爲是等價的（同名的）。

測試點1：

$true=\lambda x.\lambda y.x$

$false=\lambda x.\lambda y.y$

由題面可知$f x=N\Leftrightarrow f=\lambda x.N$，稍微推一下便可，這是整個$lambda-$演算系統中最重要的定義。

測試點2：

很是抱歉，如下都鴿了

測試點3：

測試點4：

測試點5：

測試點6：

測試點7：

測試點8：

測試點9：

測試點10：

測試點11：