[BZOJ]1089 嚴格n元樹(SCOI2003)

　　十幾年前的題啊……果真還處於高精度遍地走的年代。不過經過這道題，小C想mark一下n叉樹計數的作法。

Description

　　若是一棵樹的全部非葉節點都剛好有n個兒子，那麼咱們稱它爲嚴格n元樹。若是該樹中最底層的節點深度爲d（根的深度爲0），那麼咱們稱它爲一棵深度爲d的嚴格n元樹。例如，深度爲2的嚴格2元樹有三個，以下圖：

　　

　　給出n,d，編程數出深度爲d的n元樹數目。

Input

　　僅包含兩個整數n,d。

Output

　　僅包含一個數，即深度爲d的n元樹的數目。

Sample Input

　　3 5

Sample Output

　　58871587162270592645034001

HINT

　　0 < n <= 32，0 <= d <=16，保證答案的十進制位數不超過200位。

 

Solution

　　把題目中樹的邊當作點，點當作邊，題目就轉化爲求深度爲d的n叉樹的個數（根節點深度爲1）。

　　直覺告訴咱們，深度在d之內的樹的個數 比 深度爲d的樹的個數 好求，因此，設f[d]=深度在d之內的樹的個數。

　　而後 深度爲d的樹的個數 = 深度在d之內的樹的個數 - 深度在d-1之內的樹的個數 = f[d] - f[d-1]。

　　然而小C一開始仍是沒有頭緒，開始DP打表觀察規律。

　　而後就觀察出了遞推式：f[x] = f[x-1]^n+1 (1<=x<=d , f[0] = 1)。

　　仔細想一想爲何呢？咱們用n棵深度在x-1之內的樹做爲兒子，再加上根節點就變成深度在x之內的樹啦！

　　最後+1是由於還要加上深度爲0的空樹。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define MOD 10000
#define MS 400
#define MN 20
using namespace std;
struct hp
{
    int len,a[MS];
    void add() {++a[1];}
    friend hp operator-(const hp& A,const hp& B)
    {
        hp C=A;
        register int i;
        for (i=1;i<=B.len;++i)
        {
            C.a[i]-=B.a[i];
            if (C.a[i]<0) --C.a[i+1],C.a[i]+=MOD;
        }
        while (!C.a[C.len]) --C.len;
        return C;
    }
    friend hp operator*(const hp& A,const hp& B)
    {
        hp C; C.len=A.len+B.len+1;
        register int i,j;
        memset(C.a,0,sizeof(C.a));
        for (i=1;i<=A.len;++i)
            for (j=1;j<=B.len;++j)
                C.a[i+j-1]+=A.a[i]*B.a[j];
        for (i=1;i<C.len;++i)
            C.a[i+1]+=C.a[i]/MOD,C.a[i]%=MOD;
        while (!C.a[C.len]) --C.len;
        return C;
    }
}f[MN],ans;
int m,n;

inline int read()
{
    int n=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0' || c>'9') {if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0' && c<='9') {n=n*10+c-'0'; c=getchar();}
    return n*f;
}

hp mi(hp x,int y)
{
    hp z;
    memset(z.a,0,sizeof(z.a)); z.len=z.a[1]=1;
    for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) z=z*x;
    return z;
}

int main()
{
    register int i;
    m=read(); n=read();
    if (n<=1) return 0*printf("1");
    f[1].len=1; f[1].a[1]=2;
    for (i=2;i<=n;++i) f[i]=mi(f[i-1],m),f[i].add();
    ans=f[n]-f[n-1];
    printf("%d",ans.a[ans.len]);
    for (i=ans.len-1;i;--i) printf("%04d",ans.a[i]);
}

 

Last Word

　　果真仍是觀察規律好用。

　　一道還算不錯的題由於摻了高精度而風評被害。