主定理

ghj1222

先介紹幾個符號的含義。

符號\(\Theta\)，讀音西塔，既是上界也是下界，等於，嚴格貼緊。

符號\(O\)，讀音毆，表示上界，小於等於，貼緊未知。

符號\(o\)，讀音也是毆，小於，不貼緊。

符號\(\Omega\)，讀音偶眯嘎，表示下界，大於等於，貼緊未知。

符號\(\omega\)，讀音也是偶眯嘎，表示下界，大於，不貼緊。

上面的「貼緊」是我根據tight翻譯過來的(不是很準確啊)，大概就是是否嚴格等於的意思吧。

意思就是\(\Theta\)是平均時間複雜度，\(O\)是最壞狀況下的複雜度，\(\Omega\)是最好狀況下的複雜度。

假設咱們有遞推關係式：
\(\begin{aligned}T(n)=aT\left(\frac n b\right)+f(n)\end{aligned}\)

其中，\(n\)爲問題的規模、\(a\)爲遞推下子問題的數量，\(\begin{aligned}\frac n b\end{aligned}\)爲每一個子問題的規模，\(f(n)\)爲遞推後作的額外的計算工做。

1.假設存在常數\(\epsilon>0\)，使得\(f(n)=O(n^{\log_b(a)-\epsilon})\)，則\(T(n)=\Theta(n^{log_ba})\)。

具體意思是f(n)的上界是n的冪次，且\(log_b(a)\)比這個冪次要大，則時間複雜度爲這個n的\(log_b(a)\)次。

例子：二叉樹的遍歷。\(\begin{aligned}T(n)=2T\left(\frac n 2\right)+\Theta(1)\end{aligned}\)。其中\(a=2\)，\(b=2\)，\(f(n)=1\)，此時\(\epsilon=1\)。\(T(n)=\Theta(n)\)。

2.假設存在常數\(k\ge0\)，使得\(f(n)=\Theta (n^{\log _{b}a}\log ^{k}n)\)，則\(T(n)=\Theta(n^{log_ba}\log^{k+1}n)\)。

具體意思是f(n)是n的\(log_b(a)\)次，再乘以一個log，則複雜度是f(n)的複雜度再乘以一個log。

例子：歸併排序。\(\begin{aligned}T(n)=2T\left(\frac n 2\right)+\Theta(n)\end{aligned}\)。其中\(a=2\)，\(b=2\)，\(f(n)=n\)，此時\(k=0\)。\(T(n)=\Theta(n\log_2n)\)。

例子：二分搜索（折半搜索）。\(\begin{aligned}T(n)=T\left({\frac {n}{2}}\right)+\Theta (1)\end{aligned}\)，其中\(a=1\)，\(b=2\)，\(f(n)=1\)，此時\(k=0\)，則\(T(n)=\Theta(log_2n)\)。

3.假設存在常數\(\epsilon >0\) ，有\(f(n)=\Omega (n^{\log _{b}(a)+\epsilon })\)，同時存在常數\(c<1\)以及充分大的\(n\)知足 \(af\left({\frac {n}{b}}\right)\leq cf(n)\)那麼 \(T\left(n\right)=\Theta \left(f\left(n\right)\right)\)。

這個感受沒啥用啊。。。

【例題】

【NOIP2017初賽】若某算法的計算時間表示爲遞推關係式：

\(\begin{aligned}T(N)=2T\left(\frac N 2\right)+N\log N\end{aligned}\)，\(T(1)=1\)，則該算法的時間複雜度爲______________________________________________________。

\(\rm A .O(N)\ B .O(N\log_2N)\ C.O(N\log_2^2N)\ D.O(N^2)\)

【解析】套用狀況2中的k=1的狀況，則\(T(n)=\Theta(N\log_2^2N)\)，選C

【NOIP2016初賽】若某算法的計算時間表示爲遞推關係式：

\(\begin{aligned}T(N)=2T\left(\frac N 4\right)+\sqrt N\end{aligned}\)，\(T(1)=1\)，則該算法的時間複雜度爲______________________________________________________。

\(\rm A .O(N)\ B .O(\sqrt N)\ C.O(\sqrt N\log_2N)\ D.O(N^2)\)

【解析】套用狀況2中的k=0的狀況，則\(T(n)=\Theta(sqrt(N)\log_2N)​\)，選C

【NOIP2015初賽】某算法的計算時間表示爲遞推關係式：

\(T(N)=T(N-1)+N\)，\(T(0)=1\)。則該算法的時間複雜度爲______________________________________________________。

\(\rm A .O(\log_2^2N)\ B .O(N\log_2 N)\ C.O(N)\ D.O(N^2)\)

【解析】難道這個就要用主定理了？容易推導出\(\begin{aligned}T(N)=T(0)+1+...+n=1+\frac{N*(N+1)}{2}\end{aligned}\)，則時間複雜度爲\(O(N^2)\)，選D

【總結】

NOIP初賽考察了3年的時間複雜度分析，其中兩年用到了主定理。其實你不會主定理也沒事兒，只要能找幾個特殊值帶入，並根據符號\(O\)的意義排除選項便可。