Wannafly 挑戰賽 19 參考題解

 

這一次的 Wannafly 挑戰賽題目是我出的，除了第一題，剩餘的題目好像對大部分算法競賽者來講好像都不是特別友好，可是我的感受題目質量仍是過得去的，下面是題目連接以及題解。

 

【題目連接】

 

Wannafly 挑戰賽 19 參考題解

命題：周甄陶

 

Problem A. 隊列 Q

將操做離線倒序處理，能夠線性效率解決這個問題。看代碼很快就能懂了，再也不贅述。

時間複雜度：$O(N + Q)$

 

Problem B. 矩陣

首先看一個問題：有一個長度爲 $N$ 的序列 $A$，對於每個位置 $i$，計算以 $i$ 位置爲結尾的最大子串和，且子串的左端點位置必須大於等於 $L_i$。數據保證 $L_i$ 是非遞減的。

設 $S_i$ 爲 $A$ 的前綴和，則以位置 $i$ 爲結尾的子串和爲 $S_i - S_j$，在區間 $[L_i - 1, i]$ 內枚舉位置 $j$ 找到 $S_j$ 的最小值就能夠計算出以 $i$ 爲結尾的最大子串和。這個問題利用單調隊列是能夠 $O(N)$ 解決的。

上述問題解決後，再來看這題：
能夠枚舉答案矩陣的上下邊界，處理成一維的，題目中的第二個約束和第三個約束能夠處理出 $L_i$， 以後的問題就變成了上述那個問題了。

時間複雜度：$O(R*C*C)$

Problem C. 多彩的樹
一棵 $P$ 個節點的樹中，路徑數總共有 $P + { C }_{ P }^{ 2 }$ 條。

將顏色進行狀壓，$T_i$ 表示顏色集合小於等於 $i$ 的路徑數量，計算 $T_i$ 只要保留顏色是狀態 $i$ 中的節點，求連通塊後，每一個連通子樹計算方案數累加便可。

獲得 $T_i$ 以後，能夠經過減去子集的路徑數量，獲得顏色集合剛好爲 $i$ 的路徑數量。

時間複雜度：$O(2^K*N)$

 

Problem D. 迴文

先考慮答案的來源：確定是以某個位置爲迴文中心，留下最長迴文半徑，而後單邊保留一些或不保留字符，而後砍掉多餘部分，最後在另外一側補全，使得字符串成爲迴文串。

上述思路能夠用 manacher 以及記錄一些值的前綴後綴的最小值來實現。

時間複雜度：$O(|S|)$

 

Problem E. 集合

這題代碼量有一點大，容易寫錯，思路自己並不難。

$cost_{i,j}$ 表示 $A$ 集合的第 $i$ 個元素和 $B$ 集合的第 $j$ 個元素，經過修改操做變換成相同的元素，須要的花費爲 $cost_{i,j}$，若沒法經過修改操做變成相同的元素，則 $cost_{i,j}$ 爲 inf。$cost_{i,j}$ 能夠經過廣度優先搜索來獲得。

接下來就是一個二分圖最小費用匹配問題，能夠用最小費用最大流來解決。

源點向 $A$ 集合的每個元素 $i$ 建邊，流量爲 $1$，費用爲 $0$。
$B$ 集合的每個元素 $j$ 向匯點建邊，流量爲 $1$，費用爲 $0$。
$A$ 集合的每個元素 $i$ 向 $B$ 集合的每個元素 $j$ 建邊，流量爲 $1$。若是 $cost_{i,j}$ 爲 inf，則費用爲 $da_i + db_j$，表示這兩個元素配對的方式只能是二者都刪除；若是 $cost_{i,j}$ 不爲 inf，那麼費用爲 $\min(da_i + db_j, cost_{i,j} * \min(ma_i, mb_j))$，表示這兩個元素配對能夠選擇變換也能夠選擇直接刪除，選擇少的那一種費用。

此外，在元素個數較少的那一側，還須要新增一個節點 $P$，用來刪除另外一側多餘元素。若是是 $A$ 集合的元素比 $B$ 集合的元素少，那麼源點和 $P$ 之間建邊，流量爲 $|B-A|$，費用爲 $0$；$P$ 和 $B$ 集合中的每個元素 $j$ 建邊，流量爲 $1$，費用爲 $db_j$。

上述圖，從源點到匯點跑最小費用最大流，跑出來的費用即爲答案。

時間複雜度：$O(N * { C }_{ 16 }^{ 8 } * 16^2 + F*V*E)$，其中前半部分爲 bfs 計算 $cost$ 的複雜度，後半部分爲最小費用最大流的複雜度。

 

Problem F. K 串

$S_{i,j}$ 表示前綴 $[1,i]$ 中，第 $j$ 種字母的數量對 $K$ 取模的結果。每一個位置的 $S_i$ 均可以看做是一個 $26$ 元組，每次詢問就至關於詢問區間 $[L, R]$ 中有多少對相同的 $26$ 元組。

能夠將 $26$ 元組進行 hash 成一個數字或者能夠將 $26$ 元組插入字典樹進行操做。以後就是《小 Z 的襪子》了，利用莫隊算法便可。

hash 作法的時間複雜度：$O(N\sqrt { N } \log { N } )$

字典樹作法的時間複雜度：$O(N\sqrt { N } * 26)$

 

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寫在入職前：

畢業 20 來天了，我這個蒟蒻呢，明天就要入職微軟蘇州了。這場比賽以及三月份的校賽命題是我離開學校、上班以前對大學 ACM 算法競賽生涯的兩次總結，對於命題，我徹底把它當作是一種創做而非任務，我想創做出很優秀、很回味無窮的試題，猶如 Vae 能寫出很優美的旋律、頗有思想的歌詞通常。

這些年挺開心的，雖然從結果來看並無作到很棒，可是我真的很享受這四年時光，我慶幸可以認識不少不少好朋友，不管是學習上、生活上，仍是思想上、音樂上能聊得來的朋友們，我都很感謝很感謝。

對如今的狀態呢，我也不是很徹底滿意，我還要繼續努力。

恍若隔世的四年啊，真的猶如作了一場夢，我但願一直活在這場夢裏，但願這場夢能愈來愈好。

最後，謝謝各位的參賽，祝全部朋友們前程似錦，心想事成！