圖解：計算機數據結構中的 6 種「樹」，你心中有數了嗎？

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數據結構這門課程是計算機相關專業的基礎課，數據結構指的是數據在計算機中的存儲、組織方式。

咱們在學習數據結構時候，會遇到各類各樣的基礎數據結構，好比堆棧、隊列、數組、鏈表、樹...這些基本的數據結構類型有各自的特色，不一樣數據結構適用於解決不一樣場景下的問題。

樹形結構相比數組、鏈表、堆棧這些數據結構來講，稍微複雜一點點，但樹形結構能夠用於解決不少實際問題，由於現實世界事物之間的關係每每不是線性關聯的，而「樹」剛好適合描述這種非線性關係。

今天就帶你們一塊兒學習下，數據結構中的各類「樹」，這也是面試中常常考察的內容，手撕二叉樹是常規套路，對候選人也頗有區分度，學完這篇文章，相信你們都會心中有「樹」了。

從樹提及

什麼是樹？現實中的樹你們都見過，在數據結構中也有樹，此樹非彼樹，不過數據結構的樹和現實中的樹在形態上確實有點相像。

樹是非線性的數據結構，用來模擬具備樹狀結構性質的數據集合，它是由n個有限節點組成的具備層次關係的集合。在數據結構中樹是非線性數據結構，那咱們先來了解下，什麼是線性與非線性數據結構？

線性結構

線性結構是一個有序數據元素的集合。 其中數據元素之間的關係是一對一的關係，即除了第一個和最後一個數據元素以外，其它數據元素都是首尾相接的，經常使用的線性結構有：線性表，棧，隊列，雙端隊列，數組，串。

能夠想象，所謂的線性結構數據組織形式，就像一條線段同樣筆直，元素之間首尾相接。好比現實中的火車進站、食堂打飯排隊的隊列。

非線性結構

簡而言之，線性結構的對立面就是非線性結構。

樹

線性結構中節點是首位相接一對一關係，在樹結構中節點之間再也不是簡單的一對一關係，而是較爲複雜的一對多的關係，一個節點能夠與多個節點發生關聯，樹是一種層次化的數據組織形式，樹在現實中是能夠找到例子的，好比現實中的族譜，親戚之間的關係是層次關聯的樹形關係。

數據結構中的「樹」的名字由來，是由於若是把節點之間的關係直觀展現出來，因爲長得和現實世界中的樹很像，由此得名。如圖：

樹的關鍵概念

人們對樹形結構的研究比較深刻，爲了方便研究樹的各類性質，抽象出了一些樹相關的概念，以便清晰簡介的描述一顆樹。下面幾個基礎概念必須瞭解，不然你當你刷LeetCode樹相關題目時候，或者面試官向你描述問題時，你會連題目都看不懂事什麼意思。

先來上一個圖解，下面的術語和概念對照着看，更容易理解。

什麼是節點的度？

度很好理解，直觀來講，數一下節點有幾個分叉就說這個節點的度是多少。

什麼是根節點？

在一顆樹形結構中，最頂層的那個節點就是根節點了，全部的子節點都源自它發散開來。

什麼是父節點？

樹的父子關係和現實中很類似，若一個節點含有子節點，則這個節點稱爲其子節點的父節點。

什麼是葉子節點？

直觀來看葉子節點都位於樹的最底層，就是沒有分叉的節點，嚴格的定義是度爲 0 的節點叫葉子節點。

什麼是節點的高度？

高度是從葉子節點開始「自底向上」逐層累加的路徑長度，樹葉的高度爲 0（有些書上也說是 0，不用糾結）

什麼是節點的深度？

深度是從根節點開始「自頂向下」逐層累加的路徑長度，根的深度爲1（有些書上也說是 0，問題不大）

小技巧：高度和深度，一個從下往上數，一個從上往下數。

樹的特色

樹形數據結構，具備如下的結構特色：

• 每一個節點都只有有限個子節點或無子節點；
• 沒有父節點的節點稱爲根節點；
• 每個非根節點有且只有一個父節點；
• 除了根節點外，每一個子節點能夠分爲多個不相交的子樹；
• 樹裏面沒有環路，意思就是從一個節點出發，除非往返，不然不能回到起點。

二叉樹

有了前面「樹」的基礎鋪墊，二叉樹是一種特殊的樹，還記的上面咱們學過「節點的度」嗎？二叉樹中每一個節點的度不大於 2 ，即它的每一個節點最多隻有兩個分支，一般稱二叉樹節點的左右兩個分支爲左右子樹。

二叉樹是不少其餘樹型結構的基礎結構，好比下面要講的 AVL 樹、二叉查找樹，他們都是由二叉樹增長一些約束條件進化而來。

三種遍歷方式

二叉樹的遍歷就是逐個訪問二叉樹節點的數據，常見的二叉樹遍歷方式有三種，分別是前中後序遍歷，初學者分不清這幾個順序的差異。

有個簡單的記憶方式，這裏的「前中後」都是對於根節點而言。

先訪問根節點後訪問左右子樹的遍歷方式是前序遍歷，先訪問左右子樹最後訪問根節點的遍歷方式是後序遍歷，先訪問左子樹再訪問根節點最後訪問右子樹的遍歷方式是中序遍歷，下面詳細說明：

前序遍歷

遍歷順序是根節點->左子樹->右子樹

遍歷的獲得的序列是：1 2 4 5 3 6 7

中序遍歷

遍歷順序是左子樹->根節點->右子樹

遍歷的獲得的序列是：4 2 5 1 6 3 7

後序遍歷

遍歷順序是左子樹->右子樹->根節點

遍歷的獲得的序列是：4 5 2 6 7 3 1

二叉查找樹

因爲最基礎的二叉樹節點是無序的，想象一下若是在二叉樹中查找一個數據，最壞狀況可能要要遍歷整個二叉樹，這樣的查找效率是很是低下的。

因爲基礎二叉樹不利於數據的查找和插入，所以咱們有必要對二叉樹中的數據進行排序，因此就有了「二叉查找樹」，能夠說這種樹是爲了查找而生的二叉樹，有時也稱它爲「二叉排序樹」，都是同一種結構，只是換了個叫法。

查找二叉樹理解了也不難，簡單來講就是二叉樹上全部節點的，左子樹上的節點都小於根節點，右子樹上全部節點的值都大於根節點。

這樣的結構設計，使得查找目標節點很是方便，能夠經過關鍵字和當前節點的對比，很快就能知道目標節點在該節點的左子樹仍是右子樹上，方便在樹中搜索目標節點。

若是對排序二叉樹執行中序遍歷，由於中序遍歷的順序是：左子樹->根節點->右子樹，最終能夠獲得一個節點值的有序列表。

舉個栗子：對上圖的排序二叉樹執行中序遍歷，咱們能夠獲得一個有序序列：1 2 3 4 5 6 7

查詢效率

二叉查找樹的查詢複雜度取決於目標節點的深度，所以當節點的深度比較大時，最壞的查詢效率是O(n)，其中n是樹中的節點個數。

實際應用中有不少改進版的二叉查找樹，目的是儘量使得每一個節點的深度不要過深，從而提升查詢效率。好比AVL樹和紅黑樹，能夠將最壞效率下降至O(log n)，下面咱們就來看下這兩種改進的二叉樹。

AVL樹

AVL 也叫平衡二叉查找樹。AVL 這個名字的由來，是它的兩個發明者G. M. Adelson-Velsky 和 Evgenii Landis 的縮寫，AVL最初是他們兩人在1962 年的論文「An algorithm for the organization of information」中提出來一種數據結構。

定義

AVL 樹是一種平衡二叉查找樹，二叉查找樹咱們已經知道，那平衡是什麼意思呢？

咱們舉個天平的例子，天平兩端的重量要差很少才能平衡，不然就會出現向一邊傾斜的狀況。把這個概念遷移到二叉樹中來，根節點看做是天平的中點，左子樹的高度放在天平左邊，右子樹的高度放在天平右邊，當左右子樹的高度相差「不是特別多」，稱爲是平衡的二叉樹。

AVL樹有更嚴格的定義：在二叉查找樹中，任一節點對應的兩棵子樹的最大高度差爲 1，這樣的二叉查找樹稱爲平衡二叉樹。其中左右子樹的高度差也有個專業的叫法：平衡因子。

AVL樹的旋轉

一旦因爲插入或刪除致使左右子樹的高度差大於1，此時就須要旋轉某些節點調整樹高度，使其再次達到平衡狀態，這個過程稱爲旋轉再平衡。

保持樹平衡的目的是能夠控制查找、插入和刪除在平均和最壞狀況下的時間複雜度都是O(log n)，相比普通二叉樹最壞狀況的時間複雜度是 O(n) ，AVL樹把最壞狀況的複雜度控制在可接受範圍，很是合適對算法執行時間敏感類的應用。

B樹

B樹是魯道夫·拜爾（Rudolf Bayer）1972年在波音研究實驗室（Boeing Research Labs）工做時發明的，關於B樹名字的由來至今是個未解之謎，有人猜是Bayer的首字母，也有人說是波音實驗室（Boeing Research Labs）的Boeing首字母縮寫，雖然B樹這個名字來源撲朔迷離，咱們內心也沒點 B 樹，但不影響今天咱們來學習它。

定義

一個 m 階的B樹是一個有如下屬性的樹

1. 每個節點最多有 m 個子節點
2. 每個非葉子節點（除根節點）最少有 ⌈m/2⌉ 個子節點，⌈m/2⌉表示向上取整。
3. 若是根節點不是葉子節點，那麼它至少有兩個子節點
4. 有 k 個子節點的非葉子節點擁有 k − 1 個鍵
5. 全部的葉子節點都在同一層

若是以前不瞭解，相信第一眼看完定義確定是蒙圈，不過多看幾遍好好理解一下就行了，畫個圖例，對照着看看：

特色

• B樹是全部節點的平衡因子均等於0的多路查找樹（AVL樹是平衡因子不大於 1 的二路查找樹）。

• B 樹節點能夠保存多個數據，使得 B 樹能夠不用像 AVL 樹那樣爲了保持平衡頻繁的旋轉節點。

• B樹的多路的特性，下降了樹的高度，因此B樹相比於平衡二叉樹顯得矮胖不少。

• B樹很是適合保存在磁盤中的數據讀取，由於每次讀取都會有一次磁盤IO，高度下降減小了磁盤IO的次數。

B樹經常使用於實現數據庫索引，典型的實現，MongoDB索引用B樹實現，MySQL的Innodb 存儲引擎用B+樹存放索引。

說到B樹不得不提起它的好兄弟B+樹，不過這裏不展開細說，只需知道，B+樹是對B樹的改進，數據都放在葉子節點，非葉子節點只存數據索引。

紅黑樹

紅黑樹也是一種特殊的「二叉查找樹」。

到目前爲止咱們學習的 AVL 樹和即將學習的紅黑樹都是二叉查找樹的變體，可見二叉查找樹真的是很是重要基礎二叉樹，若是忘了它的定義能夠先回頭看看。

特色

紅黑樹中每一個結點都被標記了紅黑屬性，紅黑樹除了有普通的「二叉查找樹」特性以外，還有如下的特徵：

1. 節點是紅色或黑色。
2. 根是黑色。
3. 全部葉子都是黑色（葉子是NIL節點）。
4. 每一個紅色節點必須有兩個黑色的子節點。（從每一個葉子到根的全部路徑上不能有兩個連續的紅色節點。）
5. 從任一節點到其每一個葉子的全部簡單路徑都包含相同數目的黑色節點。

這些性質有興趣能夠自行研究，不過，如今你只須要知道，這些約束確保了紅黑樹的關鍵特性：從根到葉子的最長的可能路徑很少於最短的可能路徑的兩倍長。

而節點的路徑長度決定着對節點的查詢效率，這樣咱們確保了，最壞狀況下的查找、插入、刪除操做的時間複雜度不超過O(log n)，而且有較高的插入和刪除效率。

應用場景

紅黑樹在實際應用中比較普遍，有不少已經落地的實踐，好比學習C++的同窗都知道會接觸到 STL 標準庫，而STL容器中的map、set、multiset、multimap 底層實現都是基於紅黑樹。

再好比，Linux內核中也有紅黑樹的實現，Linux系統在實現EXT3文件系統、虛擬內存管理系統，都有使用到紅黑樹這種數據結構。

Linux內核中的紅黑樹定義在內核文件以下的位置：

若是找不到，能夠 find / -name rbtree.h 搜索一下便可，有興趣能夠打開文件看下具體實現。

紅黑樹 VS 平衡二叉樹（AVL樹）

• 插入和刪除操做，通常認爲紅黑樹的刪除和插入會比 AVL 樹更快。由於，紅黑樹不像 AVL 樹那樣嚴格的要求平衡因子小於等於1，這就減小了爲了達到平衡而進行的旋轉操做次數，能夠說是犧牲嚴格平衡性來換取更快的插入和刪除時間。

• 紅黑樹不要求有不嚴格的平衡性控制，可是紅黑樹的特色，使得任何不平衡都會在三次旋轉以內解決。而 AVL 樹若是不平衡，並不會控制旋轉操做次數，旋轉直到平衡爲止。

• 查找操做，AVL樹的效率更高。由於 AVL 樹設計比紅黑樹更加平衡，不會出現平衡因子超過 1 的狀況，減小了樹的平均搜索長度。

Trie樹（前綴樹或字典樹）

Trie來源於單詞 retrieve（檢索），Trie樹也稱爲前綴樹或字典樹。利用字符串前綴來查找指定的字符串，縮短查找時間提升查詢效率，主要用於字符串的快速查找和匹配。

爲何要稱其爲字典樹呢？由於Trie樹的功能就像字典同樣，想象一下查英文字典，咱們會根據首字母找到對應的頁碼，接着根據第2、第三...個單詞，逐步查找到目標單詞，Trie樹的組織思想和字典組織很像，字典樹由此得名。

定義

Trie的核心思想是空間換時間，有 3 個基本性質：

1. 根節點不包含字符，除根節點外每個節點都只包含一個字符。
2. 從根節點到某一節點，路徑上通過的字符鏈接起來，爲該節點對應的字符串。
3. 每一個節點的全部子節點包含的字符都不相同。

好比對單詞序列lru, lua, mem, mcu 創建Trie樹以下：

Trie樹創建和查詢是能夠同步進行的，能夠在還沒創建出完成的 Trie 樹以前就找到目標數據，而若是用 Hash 表等結構存儲是須要先創建完成表才能開始查詢，這也是 Trie 樹查詢速度快的緣由。

應用

Trie樹還用於搜索引擎的關鍵詞提示功能。好比當你在搜索框中輸入檢索單詞的開頭幾個字，搜索引擎就能夠自動聯想匹配到可能的詞組出來，這正是Trie樹的最直接應用。

這種結構在海量數據查詢上頗有優點，由於沒必要爲了找到目標數據遍歷整個數據集合，只需按前綴遍歷匹配的路徑便可找到目標數據。

所以，Trie樹還可用於解決相似如下的面試題：

給你100000個長度不超過10的單詞。對於每個單詞，咱們要判斷他出沒出現過，若是出現了，求第一次出如今第幾個位置。

有一個1G大小的一個文件，裏面每一行是一個詞，詞的大小不超過16字節，內存限制大小是1M，求頻數最高的100個詞

1000萬字符串，其中有些是重複的，須要把重複的所有去掉，保留沒有重複的字符串，請問怎麼設計和實現？

一個文本文件，大約有一萬行，每行一個詞，要求統計出其中最頻繁出現的前10個詞，請給出思想，給出時間複雜度分析。

絮絮不休

樹形數據結構有許多變種，這篇文章咱們從樹開始，把幾種常見樹形數據結構學習了一遍，包括二叉樹、二叉查找樹（二叉搜索樹）、AVL樹、紅黑樹、B樹、Trie樹。

文章構思的時候想聊聊數據結構中的樹，沒想到步子跨的有點大，大到不知從何提及，由於數據結構中各類樹的變體很是多，一篇文章實難細數，篇幅有限，也只能說是淺嘗輒止，做爲樹形數據結構入門，若是要深刻的學習，每一個知識點還能寫出一篇文章，好比 B+ 樹原理及其在數據庫索引中的應用、紅黑樹的詳細分析等等，此次檸檬只是粗略帶你們走一遍。

在後端開發中，數據結構與算法是後端程序員的基本素養，除了基礎架構部的後端開發同窗，雖然咱們日常不會常常造輪子，可是掌握基本的數據結構與算法仍然是很是有必要，面試也對相關能力有要求。回顧往期文章，數據結構的內容寫的比較少，若是你們有興趣，檸檬會再多寫一些相關主題的文章！

感謝各位的閱讀，文章的目的是分享對知識的理解，技術類文章我都會反覆求證以求最大程度保證準確性，若文中出現明顯紕漏也歡迎指出，咱們一塊兒在探討中學習。

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