# DZY Love Math 系列

DZY Love Math 系列

[BOZJ3309] DZY Loves Math

順着套路就能獲得:\(Ans = \sum_{T=1}\lfloor \frac{n}{T} \rfloor \lfloor \frac{m}{T} \rfloor \sum_{d|T} f(d) \mu(\frac{T}{d})\)
問題變爲求\(\sum_{d|T} f(d) \mu(\frac{T}{d})\)
你能夠見這裏
你還能夠見這裏
然而我就是要再寫一遍你管我QwQ......
\(T = \prod_{i=1}^K p_i^{a_i}\)\(d = \prod_{i=1}^Kp_i^{b_i}\),顯然有\(a_i\ge b_i\),看到\(\mu\)顯然\(|a_i-b_i|\leq 1\)纔有意義。
若存在\(a_i>a_j\),則\(b_i\ge b_j\),因此\(b_j\)能夠操控符號,即\(f(d) = 0\)
不然說明\(a_1=a_2...=a_K\),顯然只有當\(b_i=a_i-1\)對全部\(i\)都成立時,\(f\)的絕對值大小不同。
因此\(f(d) = (-1)^{K+1}\),記一下最小質因子和每一個數包含的不一樣質因子數,而後就能線性篩\(f\)了。html

[BZOJ3462] DZY Loves Math II

把可用質數\(p\)弄出來,不一樣的\(p\)不會超過\(7\)個,那麼就是求\(\sum_{i=1}^K c_i p_i = n\)的合法\(c_i\)組的個數。
因爲\(p_i|S\),因此把方案按照\(c_i\% \frac{S}{p_i}\)後的結果分組,而後揹包處理\((S-1)(K+1)\)之內的答案。
每次枚舉模後方案的答案\(tS + n\% S\),而後設還須要\(x\)\(S\),插板分配到\(K\)個質數中便可。函數

[BZOJ3481] DZY Loves Math III

用擴歐那套理論可得:\(Ans = \sum_{x=1}^{P} gcd(x,P) [gcd(x,P)|Q]\)
枚舉\(d = gcd(x,P)\)\(Ans = \sum_{d|P,d|Q} d\varphi(\frac{P}{d})\)
\(Q' = gcd(P,Q)\)\(Ans = \sum_{d|P} d[d|Q']\varphi(\frac{P}{d}) = \sum_{d|Q'} d\varphi(\frac{P}{d})\)
被小胖坑過的童鞋應該都能馬上反應過來這是狄利克雷卷積,只要算每一個質因子的答案便可。
枚舉一個質因子\(p\),設\(P\)中有\(a\)個,\(Q'\)中有\(b\)個。
\(a > b\)\(ans(p) = (b + 1)(p-1)p^{a-1}\),若\(a=b\)\(ans(p) = b(p-1)p^{a-1} + p^a\)
大數分解質因數用一下\(Miller-Rabin\)\(Pollard-Rho\)就好了。spa

[BZOJ3512] DZY Loves Math IV

枚舉一個\(n\),而後要算\(S(n,m) = \sum_{i=1}^m \varphi(in)\)
\(d = gcd(i,n)\)
順着套路展開:\(S(n,m) = \sum_{i=1}^m \varphi(i)\varphi(\frac{n}{d})d = \sum_{i=1}^m \varphi(i) \varphi(\frac{n}{d}) \sum_{e|d} \varphi(e)\)
後面兩個玩意合併不了,不過很好解決。
咱們設\(n'y = n\),其中\(n'\)\(n\)的每一個質因子各取一個構成的數,\(d' = gcd(i,n')\)
\(S(n,m) = y\sum_{i=1}^m \varphi(i) \varphi(\frac{n'}{d'})\sum_{e|d'}\varphi(e)\)
那麼此時有\(\frac{n'}{d'} \perp e\)
\(S(n,m) = y\sum_{i=1}^m \varphi(i) \sum_{e|d'}\varphi(\frac{n'}{e}) = y\sum_{i=1}^m \varphi(i) \sum_{e|n',e|i} \varphi(\frac{n'}{e})\)
\(S(n,m) = y\sum_{e|n'} \varphi(\frac{n'}{e}) \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{m}{e} \rfloor} \varphi(ie) = y\sum_{e|n'} \varphi(\frac{n'}{e})S(e,\lfloor \frac{m}{e} \rfloor)\)
遞歸作,\(n = 1\)時杜教篩求\(\varphi\)前綴和便可。htm

[BZOJ3560] DZY Loves Math V

明擺着是叫你算每個質因子的貢獻,而後把它們都乘起來。
考慮歐拉函數\(\varphi(p^t) = (p-1) p^{t-1}\)
因此每個質因子的貢獻爲\((\prod_{i=1}^n (\sum_{j=0}^{c_i} p^j) - 1) (p-1) + 1\),乘起來就好了。blog

[BZOJ3561] DZY Loves Math VI

順着套路推(設\(n\leq m\)),能夠獲得:
\(Ans = \sum_{T=1}^{n} (\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{T} \rfloor} i)(\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{T} \rfloor} j) \sum_{e|T} (\frac{T}{e})^{\frac{T}{e}} \mu(e) e^{2(\frac{T}{e})}\),暴力算便可。遞歸

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