動態規劃之01揹包問題（最易理解的講解）

01揹包問題，是用來介紹動態規劃算法最經典的例子，網上關於01揹包問題的講解也不少，我寫這篇文章力爭作到用最簡單的方式，最少的公式把01揹包問題講解透徹。

01揹包的狀態轉換方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中選擇若干件放在承重爲 j 的揹包中，能夠取得的最大價值。

Pi表示第i件物品的價值。

決策：爲了揹包中物品總價值最大化，第 i件物品應該放入揹包中嗎 ？

題目描述：

有編號分別爲a,b,c,d,e的五件物品，它們的重量分別是2,2,6,5,4，它們的價值分別是6,3,5,4,6，如今給你個承重爲10的揹包，如何讓揹包裏裝入的物品具備最大的價值總和？

name	weight	value	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	2	6	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15
b	2	3	0	3	3	6	6	9	9	9	10	11
c	6	5	0	0	0	6	6	6	6	6	10	11
d	5	4	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
e	4	6	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6

只要你能經過找規律手工填寫出上面這張表就算理解了01揹包的動態規劃算法。

首先要明確這張表是至底向上，從左到右生成的。

爲了敘述方便，用e2單元格表示e行2列的單元格，這個單元格的意義是用來表示只有物品e時，有個承重爲2的揹包，那麼這個揹包的最大價值是0，由於e物品的重量是4，揹包裝不了。

對於d2單元格，表示只有物品e，d時,承重爲2的揹包,所能裝入的最大價值，仍然是0，由於物品e,d都不是這個揹包能裝的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

對於承重爲8的揹包，a8=15,是怎麼得出的呢？

根據01揹包的狀態轉換方程，須要考察兩個值，

一個是f[i-1,j],對於這個例子來講就是b8的值9，另外一個是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在這裏，

 f[i-1,j]表示我有一個承重爲8的揹包，當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個揹包能裝入的最大價值

f[i-1,j-Wi]表示我有一個承重爲6的揹包（等於當前揹包承重減去物品a的重量），當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個揹包能裝入的最大價值

f[i-1,j-Wi]就是指單元格b6,值爲9，Pi指的是a物品的價值，即6

因爲f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大於f[i-1,j] = 9，因此物品a應該放入承重爲8的揹包

如下是actionscript3 的代碼

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1. public function get01PackageAnswer(bagItems:Array,bagSize:int):Array  

2. {  

3.     var bagMatrix:Array=[];  

4.     var i:int;  

5.     var item:PackageItem;  

6.     for(i=0;i<bagItems.length;i++)  

7.     {  

8.         bagMatrix[i] = [0];  

9.     }  

10.     for(i=1;i<=bagSize;i++)  

11.     {  

12.         for(var j:int=0;j<bagItems.length;j++)  

13.         {  

14.             item = bagItems[j] as PackageItem;  

15.             if(item.weight > i)  

16.             {  

17.                 //i揹包轉不下item  

18.                 if(j==0)  

19.                 {  

20.                     bagMatrix[j][i] = 0;  

21.                 }  

22.                 else  

23.                 {  

24.                     bagMatrix[j][i]=bagMatrix[j-1][i];  

25.                 }  

26.             }  

27.             else  

28.             {  

29.                 //將item裝入揹包後的價值總和  

30.                 var itemInBag:int;  

31.                 if(j==0)  

32.                 {  

33.                     bagMatrix[j][i] = item.value;  

34.                     continue;  

35.                 }  

36.                 else  

37.                 {  

38.                     itemInBag = bagMatrix[j-1][i-item.weight]+item.value;  

39.                 }  

40.                 bagMatrix[j][i] = (bagMatrix[j-1][i] > itemInBag ? bagMatrix[j-1][i] : itemInBag)  

41.             }  

42.         }  

43.     }  

44.     //find answer  

45.     var answers:Array=[];  

46.     var curSize:int = bagSize;  

47.     for(i=bagItems.length-1;i>=0;i--)  

48.     {  

49.         item = bagItems[i] as PackageItem;  

50.         if(curSize==0)  

51.         {  

52.             break;  

53.         }  

54.         if(i==0 && curSize > 0)  

55.         {  

56.             answers.push(item.name);  

57.             break;  

58.         }  

59.         if(bagMatrix[i][curSize]-bagMatrix[i-1][curSize-item.weight]==item.value)  

60.         {  

61.             answers.push(item.name);  

62.             curSize -= item.weight;  

63.         }  

64.     }  

65.     return answers;  

66. }  

PackageItem類

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1. public class PackageItem  

2. {  

3.     public var name:String;  

4.     public var weight:int;  

5.     public var value:int;  

6.     public function PackageItem(name:String,weight:int,value:int)  

7.     {  

8.         this.name = name;  

9.         this.weight = weight;  

10.         this.value = value;  

11.     }  

12. }  

測試代碼

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1. var nameArr:Array=['a','b','c','d','e'];  

2. var weightArr:Array=[2,2,6,5,4];  

3. var valueArr:Array=[6,3,5,4,6];  

4. var bagItems:Array=[];  

5. for(var i:int=0;i<nameArr.length;i++)  

6. {  

7.     var bagItem:PackageItem = new PackageItem(nameArr[i],weightArr[i],valueArr[i]);  

8.     bagItems[i]=bagItem;  

9. }  

10. var arr:Array = ac.get01PackageAnswer(bagItems,10);