最小生成樹模板 加 例題分析 （最小生成樹類型彙總）

最小生成樹：對於一個無向連通圖的最小生成樹，選取邊使得圖中每一個頂點連通且花費最小。

在kruskal算法中，集合A是一個森林，加入集合A中的安全邊老是圖中鏈接兩個不一樣連通分支的最小權邊。prim算法中，集合A僅造成單顆樹，添加入集合A的安全邊老是鏈接樹與一個不在樹中的頂點的最小權邊。

kruskal在圖G（v,e）上的運行時間取決於不相交集合數據結構是如何實現的，模板中採用路徑優化的並查集，時間複雜度爲O（1）。而後對時間複雜度有影響的就是對邊的排序，其最終時間複雜度O（E lgV）；

prim算法適用於邊多的，反之爲kruskal算法。鑑於kruskal代碼的簡單易操做，例題解法均爲kruskal算法。

Kruskal僞代碼：

（1）對全部的邊從小到大排序

（2）while(n>1) do{

                取權值最小的邊（u，v）；

                if（u，v不連通）{

                        將（u，v）加入T；

                        n--；

                }

                將邊（u，v）從集合E中刪除；

         }

其中判斷兩點是否連通可以使用並查集 

模板：kruskal模板代碼 

例題及擴展：（所有作完就能夠成爲入門菜鳥了）

基礎例題：

經常使用套路：n個結點的最小生成樹由n-1條邊構成，基礎題通常會提早鏈接好一些點，將這些點加入並查集並計算還需加入多少邊便可

難度：easy

題意：構建最小生成樹，會給出一些已經鏈接好的點。 

解析：將給出的已鏈接點提早加入並查集，計算還需加入多少條邊才能構成最小生成樹，而後加邊便可。

代碼：HDU-3371 Connect the cities

 

難度：easy

題意：構建最小生成樹，使得生成樹的最長邊減去最短邊所得的值最小。

解析：對於全部的邊從小到大排序，每次枚舉一個區間【L,R】，區間長度爲n-1，比較每次的結果求最小值

代碼：UVA 1395 Slim Span

 

難度：medium

題意：給一張圖和多個子網，子網已經連通且花費固定，求把圖連通的最小花費）

解析：運用子集生成枚舉子網，每次將子網中的點提早加入並查集，計算還需加入多少條邊才能構成最小生成樹，再構建               生成樹，比較每一次的結果取最小值

代碼：UVA 1151 Buy or Build

 

 

繼續學習一些概念：

（1）切割性質。假設全部邊權均不相同。設S爲非空也非全集的V的子集，邊e是一個端點在S中，一個不在的邊中權值最小的，則圖全部的生成樹都包含e

（2）迴路性質。假設全部邊權均不相同。設C爲圖中的任意迴路，邊e是C上權值最大的邊，則圖全部的生成樹不包含e。

增量最小生成樹：從包含n個點的空圖開始，依次加入m條帶權邊。每加入一條邊輸出當前圖的最小生成樹的權值（不連通輸出無解）每次求解完整的最小生成樹的時間複雜度爲O（m^2logn），顯然不行。

可行節點數到達n-1時恰好構成一個最小生成樹，後面繼續加邊則根據迴路性質，加入邊e（u，v）時，找到u到v的惟一路徑上權值最大的邊，與e進行比較，刪除權值較大的邊把其餘全部邊刪除。

最小瓶頸生成樹：給出帶權無向圖，求一顆生成樹，使其最大邊權儘量小。（就是最小生成樹）

最小瓶頸路：給出帶權無向圖，求u到v的一條路徑，使得路徑上的最長邊儘可能短。求最小生成樹，起點終點都在樹上的惟一路徑就是要找的路徑（uva10048）

最小瓶頸路最大邊長：求出最小生成樹，用dfs將其轉化爲有根樹，計算maxcost【u】【v】，從v出發訪問一個新節點u時，考慮全部已經訪問過的結點x maxcost【x】【u】=max（maxcost【x】【v】，maxcost【v】【u】），複雜度爲O（n^2）

次小生成樹：若是最小生成樹不惟一，則次小生成樹的權值與最小生成樹相同。

枚舉要加入哪一條新邊，最小生成樹加入邊u-v後，圖中會出現一條迴路，因此要刪除的邊在最小生成樹u到v的路徑上，並且是這條路徑的最長邊。即次小生成樹一點能夠由最小生成樹加一條邊，刪去一條邊獲得。

因此只須要按照「每對結點間的最小瓶頸路」求出每對結點在最小生成樹惟一路徑上的最長邊maxcost【u】【v】

 

生成樹變種類型的問題：

難度：medium easy

題意：給出網絡和某些特定的點，刪除網絡上的邊使得這些特定點之間兩兩互不不連通，且花費最小。

解析：構建最大生成樹（邊按從大到小排序後執行kruskal算法），當一條邊的兩端點都是給定的點時，花費加上這條邊，             反之加入最大生成樹。最後獲得的是多個包含一個給定點的最大生成樹（一個端點也能夠看作），最大生成樹之間               不相連，本身思考一下爲何達到了題目的條件)

代碼：HDU-4313 Matrix

 

難度：medium

題意：城市有人口總數，城市之間有道路，將城市鏈接起來的花費爲B。你能夠免費鏈接兩個城市，免費鏈接的兩個城市人             口之和爲A。找一個使得A/B最大的方案

解析：先求出最小生成樹，枚舉u，v並刪除最小生成樹中u，v鏈接路徑上邊長最長的邊，比較沒種狀況的結果

代碼：UVALive - 5713 Qin Shi Huang's National Road System