[Algorithm] Graph

圖的概念有點多，在此只討論最基礎的內容，因此選擇比較薄的高教版《數據結構》。

1.4 非線性數據結構--圖 ........................................................................................................... 101
1.4.1 圖的基本概念.............................................................................................................. 102
1.4.2 圖形結構的物理存儲方式........................................................................................... 104
1.4.2.1 相鄰矩陣.......................................................................................................................... 104
1.4.2.2 圖的鄰接表示 .................................................................................................................. 105
1.4.2.3 圖的多重鄰接表示 .......................................................................................................... 107
1.4.3 圖形結構的遍歷.......................................................................................................... 108
1.4.4 無向連通圖的最小生成樹（minimum-cost spanning tree:MST）.............................. 112
1.4.5 有向圖的最短路徑 ...................................................................................................... 114
1.4.5.1 單源最短路徑（single-source shortest paths） ..................................................... 115
1.4.5.2 每對頂點間最短路經（all-pairs shortest paths） ................................................. 117
1.4.6 拓撲排序 ..................................................................................................................... 119

涉及到的內容：數據結構之圖【還能夠的大綱】

 

 

三種表達

From: https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/DFS.html

• • Logical Representation
  • Adjacency List Representation
  • Adjacency Matrix Representation

 

「普通」鄰接表示

struct node{
　　bool mark; //訪問標誌
　　char letter; //頂點數據域
　　struct edge *out; //指向邊表的指針
};

struct edge{
　　bool mark; //訪問標誌
　　int no; //頂點編號
　　struct edge *link; //指向邊表的後繼
};

 

多重鄰接表示

表節點存儲的不是頂點的序號，而是指向邊（或者說弧）另外一端相鄰頂點的指針。

struct node{
　　bool mark; //訪問標誌
　　char letter; //頂點數據域
　　struct node *nextnode; //指向圖頂點集合中下一個元素的指針
　　struct arc *out; //指向該頂點邊表的指針
};

struct arc{
　　bool mark; //訪問標誌
　　struct node *link; //指向該弧（邊）的另外一端頂點的指針
　　struct arc *nextarc; // 指向與該頂點鏈接的其他弧（邊）的指針
};

 

看上去特別像倒排表：[IR] Inverted Index & Boolean retrieval

 

 

 

圖的遍歷 

一些概念

連通：若是從v到w存在一條（無向）路徑，則稱v和w是連通的

路徑：v到w的路徑是一系列的頂點的集合，其中任一對相鄰的頂點間都有圖中的邊。路徑的長度是路徑中的邊數（若是帶權，則是全部邊的權重和）。若是v和w之間的全部頂點都不一樣，則稱簡單路徑（無迴路）

迴路：起點等於終點的路徑

連通圖：圖中任意兩頂點均連通

連通份量：無向圖中的極大連通子圖

強連通；有向圖中頂點v和w之間存在雙向路徑（既有從v->w又有從w->v，能夠不是同一條），則稱v和w是強連通

弱連通：去掉方向後的v和w是連通的

強連通圖：有向圖中任意兩頂點均強連通

強連通份量：有向圖的極大強連通子圖

 

遍歷實現

不一樣的起點，會致使不一樣的遍歷路徑，也就生成了不一樣的「生成樹」。

• • 深度優先(depth-first search:DFS)
  • 寬度優先(breadth-first search:BFS)

Depth First Search, DFS

 

Breadth First Search, BFS

廣度優先搜索六層，就是「六度空間」 問題。

 

 

圖的優化問題

"無向連通圖" 的最小生成樹（minimum-cost spanning tree:MST）

既然從不一樣的頂點出發會有不一樣的生成樹，而 n 個頂點的生成樹有 n-1 條邊，那麼，當邊帶權的時候（網絡），如何尋找一個（網絡中）的最小生成樹（即樹中各邊權值之和最小）？

如下內容具體參見：[Optimization] Greedy method

稠密圖的貪心算法：Prim算法

從一個點一點一點向外擴張延伸，進入樹內的點的dist都爲0，往外延伸時是與樹中任意一個結點距離最小

選擇整個樹周邊的「最小的邊」。

 

稀疏圖的貪心算法：Kruskal算法

每次從剩餘全部邊中取最短的邊，所選邊不能構成迴路

最小堆：查找最小的邊

並查集：要鏈接的倆點不在同一棵樹上。Goto: 超有愛的並查集

並查集的實現，int pre[1000]; 這個數組，記錄了每一個大俠的上級是誰。大俠們從1或者0開始編號（依據題意而定），pre[15]=3就表示15號大俠的上級是3號大俠。

若是一我的的上級就是他本身，那說明他就是掌門人了，查找到此爲止。也有孤家寡人自成一派的，好比歐陽鋒，那麼他的上級就是他本身。每一個人都只認本身的上級。好比胡青牛同窗只知道本身的上級是楊左使。

張無忌是誰？不認識！要想知道本身的掌門是誰，只能一級級查上去。 

路徑壓縮，每一個人經過指針在某一處查詢本身門派的頭兒。若是join有門派合併事件，則只修改門派的頭兒便可。

 

 

有向圖的最短路徑

單源最短路徑（single-source shortest paths）Dijkstra算法 (基於貪心算法)

Dijkstra算法和 最小生成樹Prim算法最小生成樹算法很是相似，你們能夠先熟悉下個算法。兩個算法都是基於貪心算法。

雖然Dijkstra算法相對來講比Bellman-Ford 算法更快，可是不適用於有負權值邊的圖，貪心算法決定了它的目光短淺。

而Bellman-Ford 算法從全局考慮，能夠檢測到有負權值的迴路。

 

Ref: Dijkstra算法(一)之 C語言詳解

核心思路

與S集合中相鄰的點中找到最小的(「邊」＋相鄰點的「值」)，而後更新倆集合便可。

若是edge存在負數，則會破壞以上這句話背後的原則。

時間複雜度：O(E+V*logV)

 

基本思想

指定起點s (即從頂點s開始計算)。

S：記錄已求出最短路徑的頂點 (以及相應的最短路徑長度)；

U：記錄還未求出最短路徑的頂點 (以及該頂點到起點s的距離)；

初始時，S中只有起點s；U中是除s以外的頂點，而且U中頂的路徑是"起點s到該頂點的路徑"。

而後，從U中找出路徑最短的頂點，並將其加入到S中；

接着，更新U中的頂點和頂點對應的路徑。

而後，再從U中找出路徑最短的頂點，並將其加入到S中；

接着，更新U中的頂點和頂點對應的路徑。 ... 重複該操做，直到遍歷完全部頂點。

操做步驟

(1) 初始時，S只包含起點s；U包含除s外的其餘頂點，且U中頂點的距離爲"起點s到該頂點的距離"[例如，U中頂點v的距離爲(s,v)的長度，而後s和v不相鄰，則v的距離爲∞]。

(2) 從U中選出"距離最短的頂點k"，並將頂點k加入到S中；同時，從U中移除頂點k。

(3) 更新U中各個頂點到起點s的距離。之因此更新U中頂點的距離，是因爲上一步中肯定了k是求出最短路徑的頂點，從而能夠利用k來更新其它頂點的距離；例如，(s,v)的距離可能大於(s,k)+(k,v)的距離。

(4) 重複步驟(2)和(3)，直到遍歷完全部頂點。

 

每對頂點間最短路經（all-pairs shortest paths）Floyed算法 (基於動態規劃)

Ref: Floyd 算法求多源最短路徑

Floyd算法用來找出每對頂點之間的最短距離，它對圖的要求是，

• • 既能夠是無向圖也能夠是有向圖，邊權能夠爲負。
  • 可是不能存在負環 (可根據最小環的正負來斷定)。

 

More details, please check : [Optimization] Dynamic programming

 

 

　　　　/* 其餘內容，再補充 */

 

End.