擴展歐幾里得算法證實及求乘法逆元

擴展歐幾里得算法

已知整數a、b，擴展歐幾里得算法能夠在求得a、b的最大公約數的同時，能找到整數x、y，使它們知足貝祖等式：ax+by=gcd(a,b)

爲何必定存在貝祖等式呢，裴蜀定理以下：

設存在x，y使ax+by=d，d是ax+by取值中的最小正整數，d≠1。再設am+bn=e，則e≥d .若d不整除e，對e作帶餘除法.一定存在p，r使e=pd+r.r<d則r=e-pd=（m-px）a+（n-py）b.存在整數m-px，n-py使ax+by=r<d，與d的最小性矛盾。因此d整除e.令m=1，n=0，則d整除a；同理d整除b.因此d=gcd(a,b)

下面給出擴展歐幾里得算法的證實

ax + by = gcd(a, b)
a'x' + b'y' = gcd(a', b') (其中a'= b, b' = a % b,)
咱們要獲得x,y與x',y'的關係
將a'= b, b' = a % b帶入第一個等式
得：bx' + (a%b)y' = gcd(a', b')
由於a%b = a - b[a/b] ([a/b],取a除以b的整數)因此ay' + b(x' - [a/b]y') = gcd(a', b') = gcd(a,b)(由展轉相除得)
因此，x,y,x',y'的關係是：

x=y'
y=x' - [a/b] * y'

這樣就能夠用遞推公式，不斷向下獲得x',y'。

下面給出對應的python代碼

#擴展歐幾里得算法求線性方程的x與y
def exten_(a, b):
    if b == 0:
        return 1, 0
    else:
        k = a // b
        remainder = a % b       
        x1, y1 = get_(b, remainder)
        x, y = y1, x1 - k * y1          
    return x, y

擴展歐幾里得算法求乘法逆元

aa'=1(mod b) -> aa'=km+1 -> aa'-kb=1
令x=a' y=-k 即得ax+by=1，便可利用擴展歐幾里得算法求得a'