謝啓鴻談「如何學好高等代數」

高等代數和數學分析、空間解析幾何一塊兒，並稱爲數學系本科生的三大基礎課。所謂基礎課，顧名思義，就是本科四年學習的全部數學課程，都是以上述三門課做爲基礎的。所以對一年級新生而言，學好這三門基礎課，其重要性不言而喻。另外一方面，從高中階段的「初等數學」過渡到大學階段的「高等數學」，中間須要一個思惟轉變和理解進階的過程。這個過程延續的時間可長可短，徹底取決於我的的能力和努力。所以，如何經過學好這三門基礎課，儘快跨越這個轉變過程，對一年級新生而言，其意義更加劇大。

本人從2009年2月至2010年1月擔任高等代數習題課教師，從2010年2月至今一直擔任高等代數主講教師，已教過復旦大學數學科學學院08級--18級共11屆本科生。在本文中，我將經過本身在教學中的切身體會，與你們分享學好高等代數的一些經驗和方法。

1、將三門基礎課做爲一個總體去學，摒棄孤立的學習，提倡綜合的思考

恩格斯曾經說過：「數學是研究數和形的科學。」這位先哲對數學的這一律括，從現代數學的發展來看，已經遠遠不夠準確了，但這一律括卻點明瞭數學最本質的研究對象，即爲「數」與「形」。好比說，從「數」的研究衍生出數論、代數、函數、方程等數學分支；從「形」的研究衍生出幾何、拓撲等數學分支。20世紀以來，這些傳統的數學分支相互滲透、相互交叉，造成了現代數學最前沿的研究方向，好比說，代數數論、解析數論、代數幾何、微分幾何、代數拓撲、微分拓撲等等。能夠說，現代數學正朝着各類數學分支相互融合的方向繼續蓬勃地發展下去。

數學分析、高等代數、空間解析幾何這三門基礎課，剛好是數學最重要的三個分支--分析、代數、幾何的最重要的基礎課程。根據課程的特色，每門課程的學習方法固然各不相同，可是若是不能以一種總體的眼光去學習和思考，即便每門課都得了A，也不見得就學的很好。學院的資深教授曾向咱們抱怨：「有的問題只要畫個圖，想想就作出來了，怎麼如今的學生作題，拿來就只知道死算，連個圖也不畫一下。」固然，形成這種不足的緣由確定是多方面的。好比說，從教的角度來看，各門課程的教材或授課在某種程度上過於強調自身的特色，不多以總體的眼光去講授課程或處理問題，課程之間的相互聯繫也涉及的較少；從學的角度來看，學生們大都處於孤立學習的狀態，也就是說，孤立在某門課程中學習這門課程，缺少對多門課程的總體把握和綜合思考。

根據個人經驗，將高等代數和空間解析幾何做爲一個總體去學，效果確定比單獨學好，由於高等代數中最核心的概念是「線性空間」，這是一個幾何對象；並且高等代數中的不少內容都是空間解析幾何天然的延續和推廣。另外，高等代數中還有不少分析方面的技巧，好比說「攝動法」，它是一種分析的方法，可讓咱們把問題從通常矩陣化到非異矩陣的情形。所以，要學好高等代數，首先要跳出高等代數，將三門基礎課做爲一個總體去學，摒棄孤立的學習，提倡綜合的思考。

2、正確認識代數學的特色，在抽象和具體之間找到結合點

代數學（包括高等代數和抽象代數）給人的印象就是「抽象」，這與另外兩門基礎課有很大的不一樣。以「線性空間」的定義爲例，集合V上定義了加法和數乘兩種運算，而且這兩種運算知足八條性質，那麼V就稱爲線性空間。我想第一次學高等代數的同窗都會認爲這個定義太抽象了。其實在高等代數中，這樣抽象的定義比比皆是。不過這樣的抽象是有意義的，由於咱們能夠驗證三維歐氏空間、連續函數全體、多項式全體、矩陣全體都是線性空間，也就是說，線性空間是從許多具體例子中抽象出來的概念，具備絕對的通常性。代數學的研究方法是，從許多具體的例子中抽象出某個概念；而後經過代數的方法對這一律念進行研究，獲得通常的結論；最後再將這些結論返回到具體的例子中，獲得各類運用。所以，「具體-->抽象-->具體」，這即是代數學的特色。

在認識了代數學的特色後，就能夠有的放矢地學習高等代數了。咱們能夠經過具體的例子去理解抽象的定義和證實；咱們能夠將定理的結論運用到具體的例子中，從而加深對定理的理解和掌握；咱們還能夠經過具體例子的啓發，去發現和證實一些新的結果。所以，要學好高等代數，就須要正確認識抽象和具體的辯證關係，在抽象和具體之間找到結合點。

3、高等代數不只要學代數，也要學幾何，更要在代數和幾何之間創建一座橋樑

隨着時代的變遷，高等代數的教學內容和方式也在不斷的發展。大概在90年代以前，國內高校的高等代數教材大多以「矩陣論」做爲中心，比較強調矩陣論的相關技巧；90年代以後，國內高校的高等代數教材漸漸地改變爲以「線性空間理論」做爲中心，比較強調幾何的意義。做爲縮影，復旦的高等代數教材也經歷了這樣一個變化過程，1993年以前採用的屠伯壎老師的教材強調「矩陣論」；1993年以後採用的姚慕生老師的教材強調「線性空間理論」。從單純重視「代數」到「代數」與「幾何」並重，這實際上是高等代數教學觀念的一種全球性的改變，可能這種改變與現代數學的發展密切相關吧！

學好高等代數的有效方法應該是：深刻理解幾何意義、熟練掌握代數方法。

首先，高等代數中許多抽象的概念都有具體的幾何背景。所以，理解幾何意義、利用幾何直觀，將有助於咱們更好的理解高等代數中抽象的定義和定理。好比說，當面對「行列式」、「矩陣」和「線性方程組的解」等代數概念的時候，咱們應該好好想想，它們的幾何意義到底是什麼呢？

其次，高等代數中不少問題都是幾何的問題，咱們常常將幾何的問題代數化，而後用代數的方法去解決它。固然，對於一些代數的問題，咱們有時也將其幾何化，而後用幾何的方法去解決它。

最後，代數和幾何之間存在一座橋樑，這就是代數和幾何之間的轉換語言。有了這座橋樑，咱們就能夠在代數和幾何之間來去自由、遊刃有餘。所以，要學好高等代數，不只要學代數，也要學幾何，更要在代數和幾何之間創建一座橋樑。

4、學好教材，用好教輔，練好基本功

復旦現行的高等代數教材是姚慕生老師、吳泉水老師和本人編著的《高等代數學（第三版）》。這本教材從90年代開始沿用至今，已有20多年的歷史。教材內容翔實、重點突出、表述清晰、習題豐富，即便與全國各高校的高等代數教材相比，也不失爲出類拔萃之做。

復旦現行的高等代數學習指導書是姚慕生老師和本人編著的《高等代數學習方法指導（第三版）》（由於封面爲白色，被學生稱爲「白皮書」）。這本學習指導書是數院本科生必備的寶典，基本上人手一冊，風行程度可見一斑。

要學好高等代數，學好教材是最低的要求。另外，如何用好學習指導書，也是一個重要的環節。不少同窗購買學習指導書，主要是由於教材裏的大部分習題（除了計算題和一些簡單的證實題外）均可以在學習指導書上找到答案。固然，這一點無可厚非，畢竟這就是學習指導書的功能嘛！可是，我仍是但願一年級的新生能正確地使用學習指導書，遇到問題首先要本身獨立思考，實在想不出，再去看懂學習指導書上的解答，這樣才能達到提升能力、鍛鍊思惟的效果。注意：既不獨立思考，又不看懂學習指導書上的解答，只是抄襲，這對本身來講是一種極不負責的行爲，但願你們努力避免！

最後，我願以華羅庚先生的一句詩「勤能補拙是良訓，一份辛勤一份才」與你們共勉，祝你們不斷進步、學業有成！